Variable aléatoire réelle

l'urne. On désigne par X la variable aléatoire correspondant au nombre de boules rouges observées dans un tel prélèvement. 1) Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Donner son espérance et la valeur arrondie à 10−4 près de son écart type. 2) A l'aide de la calculatrice donner les valeurs arrondie à 10−4 près de : p ( X =60) ; p( X ≤49) ; p ( X ≤50) ; p( X ≥69) ; p ( X ≥70) Partie 2 : Des intervalles de fluctuation 1) Exprimer en fonction de X la variable aléatoire F qui associe à chaque

MULTIPLE III.1/ III.2/ III.3/ III.4/ Méthode d’estimation des Moindres Carrés Ordinaires (MCO) Hypothèses et propriétés des estimateurs des MCO Critère de jugement de la qualité de l’ajustement d’un modèle : R² , R2c , s Utilisation de variables indicatrices pour la correction des valeurs anormales et détection des valeurs anormales. III.5/ Prévision IV/ LES TESTS IV.1/ IV.2/ IV.3/ IV.4/ IV.5/ IV.6/ IV.7/ Test de significativité d’un coefficient : test de student Test de significativité

 Permet d’avoir accès à la population  Deux types Les nomenclatures Liste de noms et d’adresses qui donnent directement accès à des unités Exemple : •Liste d’hôpitaux •Liste des étudiants inscrits en médecine •Registre des entrées Les bases aléatoires Liste de « régions » qui donnent accès indirectement à des unités Exemple : •Quartier d’une ville •Service d’un hôpital La base de sondage  Doit être complète et à jour  Aucun membre de la population observée ne devrait en être exclu ni y être

suite. Ces expériences sont identiques et indépendantes. Définition : Plusieurs expériences sont identiques et indépendantes si : - elles ont les mêmes issues, - chaque issue possède la même probabilité. Propriété : On considère une expérience aléatoire à deux issues A et B avec les probabilités P(A) et P(B). Si on répète l'expérience deux fois de suite de façon identique et indépendante : - la probabilité d'obtenir l'issue A suivie de l'issue B est égale à P(A) x P(B), - la probabilité d'obtenir

le taux de confiance. L'échantillonnage est une aide à la prise de décision pour les entreprises, l'État ou les collectivités locales. 1. Qu'est-ce qu'un échantillon ? Échantillon C'est le n-uplet  obtenu par n répétitions d'une même épreuve aléatoire. Exemple On lance n fois un dé et on note les n chiffres obtenus. Fréquence d'un caractère Sur un échantillon, c'est le quotient du nombre d'apparitions du caractère par le nombre de répétitions de l'expérience. Exemple On compte le nombre

pétrolifère, la probabilité qu’un forage conduise à une nappe de pétrole est 0,1. 1) Justifier que la réalisation d’un forage peut être assimilée à une épreuve de Bernoulli. 2) On effectue 9 forages. a. Quelle hypothèse doit-on formuler pour que la variable aléatoire correspondant au nombre de forages qui ont conduit à une nappe de pétrole suive une loi binomiale ? b. Sous cette hypothèse, calculer la probabilité qu’au moins un forage conduise à une nappe de pétrole. En donner la valeur à 10 près. Exercice

toujours l’écart quadratique y − Ax − B , mais on pondère chacun des éléments par l’inverse de la variance et on en profite pour prendre en compte l’incertitude sur x. On a yˆ = y + δy + Aδx, yˆ valeur mesurée, y valeur « vraie » en x et δx, δy variables aléatoires centrées, la variance associée à y est donc σ2y +(Aσx )2 , par addition des variances. On minimise donc N i =1 y i − A − B xi σ2y + (Aσx )2 2 , c’est la méthode du χ2 . Il suffit alors de faire le même calcul qu’au §2, pour déter- miner

dit probabiliste ou aléatoire La mise en œuvre de cette méthode implique de disposer d’une base de sondage : Liste exhaustive des personnes faisant partie de la population de base Ex : Tirage au sort de 30 étudiants parmi la liste des présents en amphi. Toute méthode probabiliste repose sur la création d’un échantillon par tirage au sort Tous les éléments de la base doivent avoir la même probabilité d’être tirés au sort C’est une méthode fondée sur le hasard Les méthodes aléatoires de tirage au sort

LOI BINOMIALES ET APPLICATIONS I) EPREUVE ET SCHEMA DE BERNOULLI 1) Epreuve de Bernoulli DEFINITION : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l’une appelé succès ( ? ), l’autre échec ( ?̅ ). EXEMPLES : • On lance une pièce de monnaie équilibrée ou non. On appelle par exemple succès, l’issue « pile » et échec l’issue « face ». • On lance un dé. On peut décider d’appeler succès la sortie du 6 et échec la sortie de 1, 2, 3, 4 ou 5. 2) Loi de Bernoulli

situations pouvaient être décrites en faisant intervenir des "forces aléatoires". Exemple. Considérons par exemple le modèle simple de croissance de population : dN = a(t)N (t), N (0) = N0 une constante dt où N (t) est la taille de la population à l'instant t, et a(t) le taux de croissance associé à l'instant t. Parfois nous ne pouvons pas déterminer complétement a(t). En eet, a(t) peut être lié à des perturbations aléatoires de l'environnement. On peut alors écrire a(t) = r(t) + "bruit",