Théorème fondamental de l'arithmétique

mot démonstration de l’acte de montrer évoque l’exposition au regard d’un public de la vérité d’une assertion, d’un raisonnement. L’objectif d’une telle « monstration » est de rendre indubitable la conclusion mise à l’épreuve. Donnons quelques propriétés fondamentales de la démonstration. Premièrement, la démonstration est uneprocédure, c’est-à-dire une série d’actes conduisant à une conclusion, et cela en suivant un ensemble de règles. Deuxièmement, la démonstration est de nature discursive, c’est-à-dire qu’elle

La Philosophie des mathématiques de Kant Louis Couturat Publication: Source : Livres & Ebooks Wenn die mathematischen Urtheile nicht synthetisch sind, so fehlt Kant’s ganzer Vernunftkritik der Boden. Zimmermann [235] La question fondamentale de la Critique de la Raison pure est : « Comment des jugements synthétiques a priori sont-ils possibles ? »Qu’il existe de tels jugements, c’est ce dont Kant ne doute pas un instant, car ce sont de tels jugements qui constituent, selon lui, la métaphysique

quadrature du cercle ou le grand théorème de Fermat. Cela fait que l’importance de l’erreur en mathéma- tiques se trouve plutôt dans les phases d’élaboration du savoir. Discuter de l’er- reur en mathématiques nécessite donc de se poser au préalable la question de la nature de la création mathématique. J’explique ci-dessous la façon dont je per- çois cette création. Les sources de ma réflexion sont triples  : l’histoire des mathématiques, qui nous enseigne que la genèse des théorèmes peut être complexe et parsemée

Quelques théorèmes fondamentaux I) PGCD de deux entiers relatifs non nuls A) Définition Pour tout entier relatif non nul a, on note D(a) l’ensemble des diviseurs de a. D(a) est un ensemble fini non vide : il est non vide car il contient les nombres -1 et 1 ; il contient un nombre fini d’éléments car un diviseur b de a est un nombre qui vérifie 1 ≤ ≤ Exemple : D(12)={-12 ;-6 ; -4 ;-3 ;-2 ;-1 ; 1 ;2 ;3 ;4 ;6 ;12} D(30)={-30 ; -15 ;-10 ;-6 ;-5 ;-3 ;-2 ;-1 ;1 ;2 ;3 ;5 ;6 ;10 ;15 ;30} Notons D(12 ;30)

jusqu’aux dernières lignes. L’indécidabilité mathématique est un trou, un blanc dans le récit; mais un trou qui remplit dans l’économie narrative une fonction heuristique. Comme l’a remarqué Katherine Hayles (1993: 57), l’indécidabilité issue du théorème de l’Incomplétude de Kurt Gödel est analogue aux métaphores autoréflexives en ce sens qu’elle ouvre des voies qui conduisent vers de nouveaux horizons. Longtemps, les mathématiques ont incarné le domaine de la vérité. Depuis les Éléments d’Euclide

de tout ce qui tombe sous le raisonnement humain »2. En tant que telle, la caractéristique prend alors modèle sur les disciplines déjà existantes qui emploient les signes à des fins démonstratives : les mathématiques et, plus particulièrement, l’arithmétique et l’algèbre. Dans ce même texte de 1688-89, Leibniz écrit : (1.) [Les] signes sont d’autant plus utiles qu’ils expriment mieux la notion de la chose désignée, de telle sorte qu’ils puissent servir aussi au raisonnement et non pas à la seule représentation

5 N des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 6 8 10 12 14 16 18 19 Principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriété fondamentale de N Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Groupes 0.3.1 0.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

commutative, c’est-à-dire que a ! b = b! a , pour tous nombres naturels a et b. - L’opération de multiplication est associative, c’est-à-dire que a !(b! c) = (a ! b) ! c , pour tous nombres naturels a, b et c. C. Aebi & M. Cuénod 1 - Le lien fondamental entre la multiplication et l’addition est la distributivité de la multiplication sur l’addition, c’est-à-dire que a !(b + c) = a ! b + a ! c . L’ensembles des entiers naturels est ordonné dans le sens où si l’on prend deux nombres naturels a et

peut-être pour des raisons commerciales[7] . 3 Activités scientifiques Grâce à son séjour en Égypte, Thalès put mettre en œuvre ses connaissance en mathématiques, particulièrement en géométrie, domaines dans lesquels il fit quelques découvertes fondamentales[17] , comme déterminer qu'un cercle est partagé en deux parties égales par tout diamètre ou que les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux (voir infra). Ses découvertes astronomiques permirent d'aider à la navigation en haute mer en

groupe. On dit qu'une partie H de G est un sous-groupe de G si les conditions suivantes sont vériées : i) H est stable pour la loi ·. ii) (H, ·) est un groupe. un sous-groupe de G, il faut et il sut que : i) H = ∅. ii) ∀x, y ∈ H, xy −1 ∈ H . Théorème 3.1 Soit G un groupe d'élément neutre e. Pour qu'une partie H de G soit ⇒) Evident. ⇐) On a H = ∅. Soit donc a ∈ H , alors aa−1 = e ∈ H , d'où ∀x ∈ H, ex−1 = x−1 ∈ H . Ainsi, ∀x, y ∈ H, xy = x(y −1 )−1 ∈ H , c.-à-d. que H est stable pour la loi