Surjection

suivantes sont-elles injectives, surjectives? x → x2 x → x3 x → sin x F E t d E F c z c z b y b y a x a x f injective, non surjective f non injective, surjective Fig. 1.3 – Injection, surjection Exercice 1-6 R2 −→ R2 Soit f : . Est-elle injective? Surjective? (x,y) → (x + y,x + 2y) Exercice 1-7 Soit P l’ensemble des entiers pairs. Montrer que l’application N n φ: −→ → P 2n est une bijection. (Il y a donc ( autant

suivantes sont-elles injectives, surjectives? x → x2 x → x3 x → sin x F E t d E F c z c z b y b y a x a x f injective, non surjective f non injective, surjective Fig. 1.3 – Injection, surjection Exercice 1-6 R2 −→ R2 Soit f : . Est-elle injective? Surjective? (x,y) → (x + y,x + 2y) Exercice 1-7 Soit P l’ensemble des entiers pairs. Montrer que l’application N n φ: −→ → P 2n est une bijection. (Il y a donc ( autant

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 Injection, surjection, bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5 Relation

abodin@crm.es Donc n’h´sitez pas ` taper vos feuilles, ce sera fait une fois pour toutes et pour tous ! e a Arnaud Bodin Sommaire ` ALGEBRE 1 1 1 Nombres complexes 1 2 Logique, ensembles, raisonnements 6 I 3 Injection, surjection, bijection 11 4 Relation d’´quivalence, relation d’ordre e 14 5 D´nombrement e 15 6 Arithm´tique dans Z e 18 7 Polynˆmes o 23 8 Fractions rationnelles 28 II ANALYSE 1 29 9 Propri´t´s de R e e

applications. La composée g ◦ f est l’application g ◦ f : E → G, x → g ◦ f (x) = g (f (x)). • On dit qu’une application f : E → F est : − une injection, ou que f est injective, ssi tout élément de F admet au plus un antécédent : f (x) = f x ⇒ x = x . − une surjection, ou que f est surjective ssi tout élément de F admet au moins un antécédent : pour tout y ∈ F, il existe x ∈ E tel que y = f (x). − une bijection, ou que f est bijective ssi tout élément de F admet exactement un antécédent dans E : pour tout y ∈

peut toujours le serrer un peu plus dans le frigo. Par les algébristes – 1. Montrez que ses parties peuvent séparément être entrées dans le frigo. 2. Montrez que le frigo est stable par addition. – Prenez le frigo universel approprié et faites une surjection du frigo à l’éléphant. – Passez au quotient. Par les topologistes – Faites-lui avaler le frigo, et renversez l’intérieur et l’extérieur. – Faites un frigo à partir de la bouteille de Klein. – L’éléphant est homéomorphe à un plus petit éléphant.

Une partie H de G est un sous groupe de G si et seulement si : – H est stable par la loi · ; – H contient l’élément neutre ; – ∀ x ∈ H, x−1 ∈ H. Groupe commutatif – (Z/nZ , +) est un groupe commutatif. – l’application pn : Z → (Z/nZ ) , appelée surjection canonique, est x → x mod n un morphisme surjectif de groupes. Générateurs du groupe ˆ avec k ∈ Z et k ∧ n = Les générateurs du groupe (Z/nZ , +) sont les k, 1. c Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. Groupe monogène – Groupe cyclique

4) I = ! 1. 0. ! 0. 1. ! 0. 0. ! 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. ! ! ! ! Les arguments de la fonction eye(n,m) sont le nombre de lignes n et le nombre de colonnes m de la matrice (Rmq : si n < m (resp. n > m) on obtient la matrice de la surjection (resp. injection) canonique de Km vers Kn .) matrices diagonales, extraction de la diagonale Pour obtenir une matrice diagonale, dont les ´l´ments diagonaux sont form´s ` partir d’un vecteur : ee e a -->B=diag(b) B = ! 2. 0. ! 0. 10. ! 0. 0. ! 0

nombre (r´el) e = e1 (ce qui justifie la r´els ce qui fait que e e e e e notation !). Le th´or`me suivant r´sume les propri´t´s les plus importantes de la fonction exponentielle. e e e ee Th´ or` me I.4.1 e e (1) L’application exp est une surjection C → C − {0}. (2) Elle est ´gale ` sa d´riv´e, c’est-`-dire on a exp = exp. e a e e a (3) La restriction de exp ` R est une fonction r´elle strictement croissante et positive qui v´rifie a e e lim exp(x) = +∞, x→+∞ lim exp(x) = 0.

/ f (x) = f (x ) ⇒ x = x . Ne confondez pas avec la définition d'une application qui s'écrit : ∀x ∈ E ∀x ∈ E ∀x ∈ E ∀x ∈ E x=x ⇒ f (x) = f (x ) f (x) = f (x ) ⇒ x = x . / / 2.2 Applications surjectives f est dite surjective (ou est une surjection) si tout élément y de F est l'image d'au moins un élément x de E, soit : ∀y ∈ F ∃x ∈ E y = f (x) . 2.3 Applications bijectives f est dite bijective (ou est une bijection) si elle est à la fois injective et surjective. Dans ce cas, tout