Surjection

tris. On attachera plus d’importance à une caractérisation textuelle qu’à l’énoncé de prédicats. Injection, surjection, bijection. Composition d’applications. Travaux pratiques 1° Exemples de situations où la modélisation ou des contraintes de fonctionnement requièrent des exigences se traduisant : en termes de relation d’ordre ou d’équivalence, en termes d’injection, de surjection ou de bijection. 2° Exemples de composition d’applications toutes deux soit injectives, soit surjectives, soit

L’application f se d´compose comme le montre le diagramme commutatif suivant : e E π f / F O i E/R par :  ¯ f / f (E) L’int´rˆt de cette d´composition consiste ` remplacer l’application f , qui est quelconque, ee e a • La surjection π de E sur E/R d´finie par π(x) = C(x) = {x′ ∈ E : f (x) = f (x′ )}. e ¯ ¯ ¯ • La bijection f de E/ R sur f (E) d´finie par f (C(x)) = f (x). En fait, f est surjective e par d´finition. D’autre part, f (x) = f (y) entraine xRy soit que C(x) = C(y)

|dans d’autres parties du programme de mathématiques. Les exemples | |image réciproque d’une partie B de F. |illustrant ce paragraphe seront choisis en liaison avec | |Injection, surjection, bijection. |l’enseignement de l’informatique. On soulignera l’importance de la | |Composition d’applications. |notion d’injection pour coder des informations et de la notion

endomorphisme nilpotent, et sur F un endomorphisme injectif. Puis, montrer que : Fs(u) ∩ G = {0}. e 3. Montrer que si Fn = Fn+1 pour un n ∈ N, alors Fn = Fn+p ∀p ∈ N (on note r(u) le plus petit entier n v´rifiant Fn = Fn+1 ). Montrer que u induit une surjection de F sur lui-mˆme et que : e E = F + Gr(u) . 4. Lorsque s(u) et r(u) existent, on dit que u est de caract`re fini. Montrer qu’en ce cas, F et G sont suppl´mentaires, e e stables par u, u induit un endomorphisme nilpotent sur G et un automorphisme

|dans d’autres parties du programme de mathématiques. Les exemples | |image réciproque d’une partie B de F. |illustrant ce paragraphe seront choisis en liaison avec | |Injection, surjection, bijection. |l’enseignement de l’informatique. On soulignera l’importance de la | |Composition d’applications. |notion d’injection pour coder des informations et de la notion

appartenance, inclusion, ensemble de parties P( E ) , complémentaire, intersection, réunion de deux parties, produit cartésien . b) Application d’un ensemble E dans un ensemble F , Image d’une partie de E , Image réciproque d’une partie de F , injection , surjection, bijection et compositions d’applications . SUITE NUMERIQUES - Suites croissantes , suites décroissantes , suites arithmétiques, suites géométriques . - - Limite d’une suite , critères de convergence ( Rappels et exercices pour consolider les acquis

applications. La composée g ◦ f est l’application g ◦ f : E → G, x → g ◦ f (x) = g (f (x)). • On dit qu’une application f : E → F est : − une injection, ou que f est injective, ssi tout élément de F admet au plus un antécédent : f (x) = f x ⇒ x = x . − une surjection, ou que f est surjective ssi tout élément de F admet au moins un antécédent : pour tout y ∈ F, il existe x ∈ E tel que y = f (x). − une bijection, ou que f est bijective ssi tout élément de F admet exactement un antécédent dans E : pour tout y ∈

plus dénombrable est donc un ensemble fini ou un ensemble dénombrable au sens de la définition précédente. • Caractérisations : Soit E un ensemble. – S’il existe une injection de E dans N, alors E est au plus dénombrable. – S’il existe une surjection de N sur E, alors E est au plus dénombrable. • Propriétés – Toute partie infinie A de N est en bijection avec N. – N est en bijection avec N2 . – Le produit cartésien d’une famille finie d’ensembles dénombrables (resp. au plus dénombrables)

´ µ Æ ×Ø ÙÒ ÑÓÒÓ ´ÙÒ Ø Ö µº ÉÙ Ð× ×ÓÒØ Ð × Ð Ñ ÒØ× ×ÝÑ ØÖ × Ð × ÉÙ Ð× ×ÓÒØ Ð × Ð Ñ ÒØ× × ÑÔÐ Ð × Ù ´ ³ ×ع ¹ Ö Ð × ¼ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ¼ ¾ ´ µµ ÉÙ Ð× ×ÓÒØ ÙÜ ÕÙ ×ÓÒØ × ÑÔÐ Ð Ñ ÒØ× ¾ ´ µ Ú Ö ÒØ Æ Æ ¼ µ Ð × ÖÓ Ø ¦ Ð ½℄ Simplifiables `a droite : les surjections. Sym´ etrisables : les bijections. Simplifiable `a gauche : les injections. § ENSº ËÓ ÒØ ¸ ¸ × Ò× Ñ Ð ×¸ Ø   ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò× º ËÓ ÒØ ½µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ´ µ Ö ´ µ ´ Ö µº ¾µ ¹Ø¹ÓÒ Ð Ø ¿µ ÅÓÒØÖ Ö Õ٠г Ð Ø Ð Ù × ×Ø Ò Ø Ú º µ Ò Ù Ö ÕÙ ¸ × ×Ø ÙÒ Ø ÓÒ

surjectives? x → x2 x → x3 x → sin x £ E f g G F ¥ ¦ § ¨ © g◦f   ¡ ¤ ¢ F t E c z E d F c z b y b y a x a x f injective, non surjective f non injective, surjective Fig. 1.3 – Injection, surjection Exercice 1-6 R2 −→ R2 Soit f : . Est-elle injective? Surjective? (x,y) → (x + y,x + 2y) Exercice 1-7 Soit P l’ensemble des entiers pairs. Montrer que l’application φ: N n −→ → P 2n est une bijection. (Il y a donc ( autant ) d’entiers que d’entiers