Sinus cardinal

sixi`mes de l’unit´ e e j2 =  = 1 j (b) Raines cubiques de l’unit´ e Fig. 2.4 – Racines ni`mes de l’unit´ e e Th´or`me 2.12 : Groupe des racines de l’unit´ e e e L’ensemble des racines ni`mes de l’unit´, (Un ,×) est un groupe fini de cardinal n. e e Th´or`me 2.13 : La somme des racines ni`mes de l’unit´ est nulle e e e e n−1 ωk = 0 k=0 Remarque 30. On note j = e 2iπ 3 la racine cubique primitive de l’unit´, et on a les relations : e U3 = {1,j,j 2 }, j 2 = 1 =  1 + j

de l’unit´ e e j2 =  = 1 j (b) Raines cubiques de l’unit´ e Fig. 2.4 – Racines ni`mes de l’unit´ e e Th´or`me 2.12 : Groupe des racines de l’unit´ e e e L’ensemble des racines ni`mes de l’unit´, (Un ,×) est un groupe fini de cardinal n. e e Th´or`me 2.13 : La somme des racines ni`mes de l’unit´ est nulle e e e e n−1 ωk = 0 k=0 Remarque 30. On note j = e 2iπ 3 la racine cubique primitive de l’unit´, et on a les relations : e U3 = {1,j,j 2 }, j 2 =

de l’unit´ e e j2 =  = 1 j (b) Raines cubiques de l’unit´ e Fig. 2.4 – Racines ni`mes de l’unit´ e e Th´or`me 2.12 : Groupe des racines de l’unit´ e e e L’ensemble des racines ni`mes de l’unit´, (Un ,×) est un groupe fini de cardinal n. e e Th´or`me 2.13 : La somme des racines ni`mes de l’unit´ est nulle e e e e n−1 ωk = 0 k=0 Remarque 30. On note j = e 2iπ 3 la racine cubique primitive de l’unit´, et on a les relations : e U3 = {1,j,j 2 }, j 2 =

divers fournisseurs. Souvent on essaie de regrouper dans un même module des ensembles de fonctions apparentées que l’on appelle des bibliothèques. Le module math, par exemple, contient les définitions de nombreuses fonctions mathématiques telles que sinus, cosinus, tangente, racine carrée, etc. Pour pouvoir utiliser ces fonctions, il vous suffit d’incorporer la ligne suivante au début de votre script : from math import * Cette ligne indique à Python qu’il lui faut inclure dans le programme courant

de la droite des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Une nouvelle unité de mesure des angles : le radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3 Cosinus et sinus d’un réel x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi http ://perpendiculaires.free.fr/ Chapitre 1 Généralités sur les fonctions Sommaire 1.1 Activité . . . . . . . . . . . . .

ck,3 = ak et ck,4 = bk, (3.226) devient u(x, t) = +∞∑ k=1 uk(x, t) = +∞∑ k=1 ( ak cos kaπ l t+ bk sin kaπ l t ) sin kπ l x (3.230) comme u(x, 0) = ϕ1 (x) , on a donc +∞∑ k=1 ak sin kπ l x = ϕ1 (x) . (3.231) (3.231) est le développement en séries de sinus de la fonction ϕ1 (x) (On a supposé que la fonction ϕ1 (x) est 2l-périodique et impaire, on identifiant son développement en série de Fourier avec (3.231)), on trouve ak = 2 l l∫ 0 ϕ1 (x) sin kπ l xdx. (3.232) De la condition ∂u ∂t (x, 0) = ϕ2 (x)

∩ B est ´galement e un sous-ensemble de A et de B. Propri´t´ 4 Soit A et B deux sous-ensembles de Ω. Alors : e e – CΩ (A∩B)= CΩ A ∪ CΩ B. – CΩ (A∪B)= CΩ A ∩ CΩ B. Definition 1.6 Soit A un ensemble contenant un nombre fini d’´l´ments. ee On appelle cardinal de A, not´ Card(A), ce nombre d’´l´ment. e ee Propri´t´ 5 Soit A et B deux sous-ensembles de Ω tel que Card(Ω) < ∞. e e Alors : – Card CΩ A = Card(Ω) − Card(A). – Card(A ∪ B) + Card(A ∩ B) = Card(A) + Card(B). Definition 1.7 Soit A et B deux ensembles

d’éventuelles difficultés techniques. CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Fonctions de référence Fonctions affines. Fonctions polynômes de degré 2. Fonctions logarithme népérien et exponentielle de base e. Fonction racine carrée. Fonctions sinus et cosinus. • Représenter une fonction de référence et exploiter cette courbe pour retrouver des propriétés de la fonction. En fonction des besoins, on met l'accent sur les fonctions de référence les plus utiles. En cas de besoin lié à la spécialité

= 1, de remplacer z par , ou inversement. z ➥ Exercices 2.10, 2.13, 2.16. Essayer de faire intervenir les nombres complexes, en utilisant la formule : ∀ x ∈ R, cos x + i sin x = ei x . Pour résoudre une question portant sur des cosinus et des sinus Pour transformer 1 + ei θ ou 1 − ei θ , (θ ∈ R), mettre e 2 en facteur : θ iθ 1 + ei θ = 2e 2 cos , 2 θ iθ 1 − ei θ = −2i e 2 sin . 2 iθ ➥ Exercice 2.15. Pour déterminer l'image dans C, par une application f, d'une partie P de C Essayer, si possible

319 320 323 325 326 326 327 329 329 331 13 sommaire du volume i Élision, voir Apostrophe (vol. I, p. 179) Empattement Empire Enseigne Entrelarder, larder Énumération Épigraphe Époque Ère Errata, erratum Espace Espacement Est, voir Point cardinal (vol. II, p. 190) Et, esperluette État États-Unis Etc. Ethnique, voir Peuple (vol. II, p. 178) Étirement Étoile, voir Astre (vol. I, p. 206) Euro Évangile Événement historique Événement sportif, voir Manifestation sportive (vol. II, p. 118) Exergue