Série dérivée

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Applications de plusieurs variables et dérivées partielles . . . 1.2 Le théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Applications : interversion de limite et de dérivation . . . . . 1.2.3 Applications : dérivées partielles et dérivées . . . . . . . . . . 1.3 Théorème d’inversion locale et fonctions implicites . . . . . . . . . . 1.3.1

Annales bac ES non corrigées : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/doc/terminale.html Document Word : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/doc/bac_2008/bac_es_national_2008.doc BACCALAUREAT GENERAL Session 2008 Epreuve: MATHEMATIQUES Série : ES Durée : 3 heures Coef. : 5 ou 7 OBLIGATOIRE et SPECIALITE Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 7 pages numérotées de 1 à 7. Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats (une feuille). L’utilisation

obliques (approximativement 10 heures). Tangentes et pentes de tangentes: notation f’(x). La dérivée d’une fonction: exploration graphique et exploration numérique à l’aide de la calculatrice. Les dérivées des fonctions de base (approximativement 10 heures). Formules et règles de dérivation: dérivées des fonctions algébriques. Dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques. Dérivées des fonctions trigonométriques. Règles pour l’addition, la soustraction, la multiplication et la

................................................................. 4 I. Notion de Continuité 4 II. Les Limites 5 Chapitre II : Dérivation et Etude de fonctions ....................................................... 11 I. Nombre dérivé - Fonction dérivée 11 II. Dérivation et Etude de fonction 12 III. Equation d’une tangente à une courbe 13 IV. Dérivation et Valeur Intermédiaire 14 Chapitre III : Calcul intégral..................................................................................... 15

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 29 30 30 31 31 Calcul différentiel élémentaire 7.1 Différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Problèmes d’extrémums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Les théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites 7.5 Intégrales multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exponentielle 2 Lecture graphique d’une pente = TMS 3 Comportement à long terme = les Limites 4 Equations – Inéquations : théorème des valeurs intermédiaires Leçon 3 : Calcul différentiel – Dérivées Partielles page 10 1 Dérivées partielles – différentielle et interprétation en économie 2 Fonctions de Cobb – Douglas - TMS - Elasticités Leçon 4 : Optimisation sous contrainte – Lagrangien page 13 1 méthode

soit +∞, soit -∞. Si lim f(x) = b et lim g(y) = l , alors lim g o f(x) = l . x→a y→b x→a Continuité - Dérivabilité Continuité f est continue en x0, si lim f(x) = f(x0) c'est-à-dire si lim f(x0 + h) = f(x0) x→x0 h→0 Limites obtenues par la dérivée Si f est une fonction dérivable en x0 alors : f(x0 + h) - f(x0) f(x) - f(x0) lim = f'(x0) ou encore lim = f'(x0). h→0 x→x0 h x - x0 f est continue sur un intervalle I, si f est continue en tout point x0 de I Limites usuelles La limite d'une

+∞, soit -∞. Si lim f(x) = b et lim g(y) = l , alors lim g o f(x) = l . x→a y→b x→a Continuité Limites obtenues par la dérivée f est continue en x0, si lim f(x) = f(x0) c'est-à-dire si lim f(x0 + h) = f(x0) x→x0 Si f est une fonction dérivable en x0 alors : f(x0 + h) - f(x0) f(x) - f(x0) lim = f'(x0) ou encore lim = f'(x0). h→0 x→x0 h x - x0 Nombre dérivé - Fonction dérivée - Tangente Limites usuelles La limite d'une fonction polynôme en +∞ ou en -∞ est la limite de son terme de plus haut degré

∈]a,b[, on a f (x0 ) = 0 et f (x0 ) = 0 , / la fonction f présente un extrémum local en x0 . C'est un maximum si f (x0 ) < 0 , un minimum si f (x0 ) > 0 . 28 Analyse en 30 fiches 5 Application Étudiez la dérivabilité et calculez la dérivée de la fonction définie sur R par : 1 f (x) = x sin pour x = 0 et f (0) = 0. / x Solution / Pour x = 0, la fonction f est dérivable comme produit de fonctions dérivables, et 1 1 1 f (x) = sin − cos · x x x Étudions la dérivabilité

sources d’incertitude liées au positionnement du capteur. 1. Les différents types de déplacement et leur mesure Un déplacement pouvant être défini comme la variation, en fonction du temps, d’une position, la dérivée première par rapport au temps du déplacement donne la vitesse, la dérivée seconde donne l’accélération. Ces deux grandeurs sont certes accessibles à partir du signal fourni par un capteur de déplacement ; il est toutefois à noter [1] que le rapport signal sur bruit est diminué lors d’une