Série dérivée

équation différentielle du premier ordre est une expression qui décrit une relation entre une fonction à une variable et sa dérivée première : y(t) ˙ = f (y(t)) Exemple : y(t) ˙ = 2y(t) Cette équation impose pour être résolue de trouver une fonction y(t) dont la dérivée première est égale à deux fois cette fonction. Une solution de cette équation est y(t) = e2t puisque sa dérivée y(t) ˙ est 2e2t = 2y(t). Remarquons, dans ce cas, que pour n’importe quelle constante k, y(t) = ke2t est aussi une solution

l’indétermination typique dans les calculs de nombre dérivé lim et doit x→x0 0 x − x0 donc éveiller les soupçons. Un certain stock de ces nombres dérivés sont fournis une bonne fois pour toutes en cours. ln(1 + x) qui donne la dérivée de la fonction x → ln(1 + x) en 0 (ou la dérivée de x → ln(x) en 1). Ici, on utilise lim x→0 x ln(1 + x) 1 ln(1 + x) ln(1 + x) = = 1. × . . . lim Pour x > −1 et x = 0 et x = 1, 2 x→0 x−x x 1−x x − x2 2 sin(x) − 1 . Exemple 6. Trouver lim 6x − π x→π/6

DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f(x) = -x2 + 16 pour x ∈ [-4 ; 4]. 1°) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité 1cm. 2°) On admet que la courbe (C) schématise un dôme à l'échelle 1/100. Sur ce dôme se trouve un mât d'une hauteur de 1 mètre. Quelles sont les coordonnées du point A représentant l'extrémité de ce mât ? 3°) Le point H de coordonnées (a

tend vers 0 4. FONCTION DERIVEE Définition: Soit f une fonction dont l'ensemble de définition sera désigné par D f . Soit I un intervalle inclus dans D f , sur lequel f est dérivable (c'est-à-dire que f admet un nombre dérivé en tout a ∈ I ). Alors on peut définir une fonction qui, à tout x de I associe le nombre dérivé de f en x, noté f '( x) . Cette fonction est appelée fonction dérivée de f sur I, et est notée f ' . Memento mathématiques 1ère S T.Joffredo Dérivées des fonctions usuelles: Si

MOUVEMENT DE TRANSLATION RECTILIGNE Il suffit de connaître la position X(t) d’un point M du solide en translation, pour connaître sa vitesse et son accélération , mais aussi celles de tous les autres points car la vitesse est identique en tout point. uniformément accéléré ou décéléré (régime transitoire) uniforme (régime établi ou permanent) Accélération : C’est la pente de la courbe de vitesse V(t) Accélération : Vitesse : a et V de même signe : Accélération a et V de signes

B 1 B A 0 1 x 1+h III) Fonctions dérivées : cela signifie que la fonction est dérivable en tout nombre x de I. f '(x) existe ! a) fonction dérivée : définition : Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. La fonction qui associe à tout x de I le nombre dérivé f '(x) est appelée la fonction dérivée de f. On la note f ' Ex : Soit la fonction f définie sur telle que f (x) = (x – 3)2. Soit a un nombre réel. Déterminons la fonction dérivée f ' de la fonction f : On a pour tout

L’agrégat M3 en progression de 0,3% L'agrégat monétaire M3 s'est inscrit en hausse de 0,3% en mai dernier contre un repli de 0,8% en avril, selon BAM, qui attribue cette progression à la hausse de 1,5% des créances sur l'économie et de 3,9% des créances nettes sur l'administration centrale qui a été atténuée par la baisse de 4,6% des avoirs extérieurs nets et l'effet négatif induit par la hausse des ressources à caractère non monétaire. L'agrégat monétaire M3 s'est inscrit en hausse de 0,3% en

fonction exponentielle est solution, sur , de l'équation différentielle y' = y. Elle est donc nécessairement dérivable sur  et par conséquent continue sur . · Stricte monotonie La fonction exponentielle est strictement positive sur  et égale à sa dérivée donc elle est strictement croissante sur . Remarque : la croissance de l'exponentielle se traduit par : ex  ey Û x  y (Voir illustration, figure 1) Cette dernière propriété sera très utile pour établir des inégalités ou pour résoudre des

FONCTIONS DÉRIVÉES I. Savoir calculer une dérivée : • Exemple : Calculer la dérivée f ′(x ) dans chacun des cas suivants : f (x ) = 3x 4 + 5x − 1 g( x ) = 3 x h( x ) = • Méthode : On utilise les formules du calcul des dérivées. 3 x2 k ( x) = 2x + 1 x2 f(x) f '(x) f(x) f '(x) ax + b axn 1 x a naxn-1 1 − 2 x 1 2 x u(x) + v(x) u.v 1 u u v u'(x) + v'(x) u'.v + u.v' u′ − 2 u u′v − uv ′ v2 x • Solution : f (x ) = 3x 4 + 5x

g’(−3) = +1 −2 EXERCICE TYPE 3 Déterminer par le calcul une équation d’une tangente On considère la fonction h : x x3 − 9x + 2 et on note (Ch) sa courbe représentative. On admet dans cet exercice que h’(2) = 3. ( voir fiche « Calculer une dérivée » ) a. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe (Ch) au point A d’abscisse 2. b. Tracer la tangente T dans le graphique donné ci-dessous avec la courbe (Ch). Solution a. ¤ Par définition du nombre dérivé, h’(2) est le coefficient directeur