Série d'animation

s´erie de Exercice 12 : Se ´rie harmonique alterne ´e (−1)n terme g´en´eral un . On consid`ere la s´ erie harmonique altern´ ee A = . n n≥1 Les classiques 1. Montrez que la s´erie A est convergente. Est-elle absolument convergente ? ´ Exercice 10 : Serie harmonique 2. D´emontrez que 1 On consid`ere la s´erie harmonique S = . On note pour tout n ∈ N Sn la n n n 1 1 (−1)k n≥1 ∀n ∈ N , = − somme partielle de rang n de cette s´erie. k k k k=1 2≤2k≤n k=1 1. Convergence de la s´ erie harmonique n Quelle

Chapitre II Séries Numériques La série constitue une généralisation de la notion de somme pour une succession in…nie de termes. L’étude des séries consiste à évaluer la somme d’un nombre …ni n de termes successifs, puis, par un calcul de limite, à identi…er le comportement de la série lorsque n devient indé…niment grand. Un certain nombre de méthodes permettent de déterminer la nature (convergence ou non ) des séries sans réaliser explicitement les calculs, comme on va le voir par la suite. 2-1

Corrigé IE suites Exercice 1 1. (un) est une suite arithmétique de premier terme u0 =−5 et de raison r =7. 1) * u1 = u0+r =−5+7 =2. * u2 = u1+r =2+7 =9. 2) La suite est arithmétique donc un= u0+nr =−5+n×7 = 7n−5. d'où u40 = 7×40−5 = 280−5 = 275. 2. (un) est une suite géométrique de premier terme u0 = 3 et de raison q = −2. 1) * u1 = qu0 = −2×3 = − 6. * u2 = qu1 = −2×(−6) = 12. 2) La suite est géométrique donc un= u0qn un = (−2)n ×3. d'où, u10 = (−2)10 ×3 =1 024×3 = 3 072. 3)La somme des 10

Activité 1 : On étudie l'évolution d'une population de rongeurs sur une île pendant plusieurs années et on a représenté graphiquement les premiers termes des suites ainsi obtenues. a) b) c) d) e) f) 1) Dans chacun des cas suivants, décrire l'évolution observée. On souhaite utiliser ces études pour prévoir la population à l'avenir, en supposant que l'évolution continue de la même façon. 2) Dans quel(s) cas la population semble-t-elle se stabiliser ? Autour de quelle « population limite » ? →

Exercice 3 : On considère la suite (un ) définie par : un+1 = −0, 5un + 5 u0 = 50 On considère également la suite (vn ) définie par : vn = un − 10 3 1. Remarquons d’abord que pour tout entier n ∈ N, vn = un − 10 10 ⇐⇒ un = vn + 3 3 Ensuite, soit n ∈ N : vn+1 = un+1 − 10 3 10 3 15 10 10 + − = −0, 5 vn + 3 3 3 1 10 5 = −0, 5vn − × + 2 3 3 5 5 = −0, 5vn − + 3 3 = −0, 5vn = −0, 5un + 5 − (vn ) est donc une suite géométrique de raison q = −0, 5 et de premier terme : v0 = u0 − 150 10 140 10 =

Anime Un anime (アニメ), également appelé parfois japanime ou japanimation, désigne une série ou un film d'animation en provenance du Japon. C'est le diminutif du mot animēshon (アニメーション), lui-même transcription de l'anglais « animation ». Alors que les toutes premières animations japonaises connues datent de 1917 et qu'un bon nombre de dessins-animés originaux sont produits durant les décennies suivantes, la caractéristique et le style anime se développent durant les années 1960 (notamment grâce

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2.1 Séries entières Définition 2.1.1 On appelle série entière toute série de fonctions fn dont le terme n général est de la forme fn (x) = an x , où (an )n désigne une suite réelle ou complexe et x ∈ R. Une série entière est notée semble : an xn . Comme pour les séries de fonctions, on cherche l’en    ∆ = x ∈ R :   ∞ n=0 qu’on appelle domaine de convergence de la série entière. Exemple 2.1.1 Exemple 1 :     n an x converge   xn . n! n=0 xn Posons

valeurs dans K. La série (numérique) de terme général an , notée an , est la suite (Sn ), où n ∀n ∈ N Sn = k=0 ak . Dans ce contexte, pour tout entier naturel n, on dit que Sn est la ne somme partielle (ou la somme partielle d’indice n, ou encore d’ordre n) de la série an . ® Remarques • Ainsi, une série n’est autre qu’une suite dont le terme général est la somme des premiers termes d’une autre suite. • Toute suite numérique peut être interprétée comme une série. En effet, si (an )

On considère la série de fonctions numériques de la variable réelle x, de terme général un (x) = a) Etudier la convergence de cette série. On définit la fonction f : R → R par : +∞ pour tout réel x, f(x) = n=1 cos(nx) . n2 b) Montrer que f est continue sur R, paire et 2π-périodique. π c) Calculer l’intégrale : I = 0 f(x) dx. π d) Calculer, pour p ∈ N∗ , l’intégrale Ip : 0 +∞ f(x) cos(px) dx. e) La série cos(nx) est-elle le développement en série de Fourier de f

suivant. Théorème 26.1 Une série à termes positifs un est convergente si, et seulement si, la suite de ses sommes partielles est majorée. En cas de divergence, on a lim Sn = +∞. n→+∞ Dans le cas des séries à termes positifs, on écrira un < +∞ pour signifier que cette dernière converge. Cette notation étant justifiée par les considérations précédentes. En cas de divergence, on a un = +∞. 26.2 Les séries de Riemann Théorème 26.2 Soit α un réel. La série de Riemann si α > 1. 1