Rougette

Montrer que la famille de fonctions (cos(px))p∈N ∪ (sin(qx))q∈N∗ est libre. no 13 (***I) : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel de dimension finie sur K. Démontrer que dim(F + G) = dimF + dimG − dim(F ∩ G). c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr no 14 (**) : Soient F, G et H trois sous-espaces d’un espace vectoriel E de dimension finie sur K. Montrer que : dim(F + G + H) dimF + dimG + dimH − dim(F ∩ G) − dim(G ∩ H) − dim(H

appartient à la médiatrice du segment [AB]. (F) est la médiatrice du segment [AB]. M ∈ (F) ⇔ Ainsi, (F) est la médiatrice de [AB] privée du point A. Comme A n’est pas sur cette médiatrice, http ://www.maths-france.fr 2 c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés. 3. a. L’expression complexe de la rotation R de centre Ω et d’angle z ′ = zΩ + ei 2 (z − zΩ ) = π π est 2 3 5 3 5 + i + i(z − − i) = iz + 4 + i. 2 2 2 2 Donc 1 3 5 3 zB ′ = i(2i) + 4 + i = 2 + i et zI

1, 0 + 2 = 2, 0 + 4 = 4, 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 1 + 4 = 5, 2 + 2 = 4, 2 + 4 = 6, 4 + 4 = 8. Maintenant, l’entier x2 + y2 est divisible par 7 si et seulement si cet entier est congru à 0 modulo 7. http ://www.maths-france.fr 5 c Jean-Louis Rouget, 2010. Tous droits réservés. Or, une et une seule des sommes ci-dessus est congrue à 0 modulo 7 à savoir la somme 0 + 0 = 0. D’après la question a), cette somme est obtenue dans une situation et une seule à savoir x ≡ 0 (mod 7) et y ≡ 0 (mod 7)

4 T : 450.420.0731 F : 45 0 . 42 0 . 0 7 3 4 SUSHI – SASHIMI Maguro: Thon rouge / Red tuna Hamachi: Thon à queue jaune / Yellow tail tuna Syake: Sushi (2) Sashimi (2-3) Kunsei Syake: Saumon fumé / Smoked salmon Tai: Rouget / Red snapper Escolier: Unagi: Anguille fumée / Smoked eel Ebi: SUSHI – SASHIMI Omelette / Egg cluster Hotategai: 6.00 Uni: Tako: Ika: Hokkigai: 4.75 Palourde / Surf clam Tobiko: Caviar de poisson volant / Flying

Cauchy-Schwarz et de Minkowski) Soient a1 ,..., an , b1 ,..., bn des nombres réels. n n n n 1) En considérant la fonction f : x → Cauchy-Schwarz). (ak + xbk )2 , montrer que | k=1 k=1 a k bk | ≤ a2 k k=1 k=1 b2 (inégalité de k c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr n n n 2) En déduire l’inégalité de Minkowski : k=1 (ak + bk )2 ≤ a2 + k k=1 k=1 b2 . k (l’inégalité de Cauchy-Schwarz affirme que le produit scalaire de deux

f(vn ) et puisque f est strictement croissante sur l’intervalle [1, +∞[ et que les réels vn et vn+1 sont éléments de cet intervalle, on a vn+1 < vn . La suite (vn ) est strictement décroissante. http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés. 4. La suite (un ) est croissante et majorée par 1. Donc la suite (un ) est convergente. On note ℓ sa limite. Puisque, pour tout entier naturel n, on a 0 ≤ un ≤ 1, quand n tend vers +∞, on obtient 0 ≤ ℓ ≤ 1. 1 (∗).

staphylocoque (1880) cause des furoncles et de l'ostéomyélite, - le streptocoque (1880), cause des fièvres puerpérales, - le bacille du choléra des poules (1880), - le pneumocoque (1881). 7- Premières vaccinations: choléra des poules, charbon, rouget du porc et rage Dès 1881, pour démontrer sa théorie, Pasteur réalisa une expérience publique. Devant l'Académie des Sciences, avec ses collaborateurs Chamberland et Roux, il fait la célèbre communication où il se dit en mesure de vacciner les

= − sin x 2 π sin(x + ) = cos x 2 π tan(x + ) = − cotan x 2 π cotan(x + ) = − tan x 2 quart de tour indirect π cos(x − ) = sin x 2 π sin(x − ) = − cos x 2 π tan(x − ) = − cotan x 2 π cotan(x − ) = − tan x 2 c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr Formules d’addition Formules de duplication cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a sin(a −

Ravage René Barjavel I. RÉSUMÉ DU ROMAN II. ÉTUDE DES PERSONNAGES – François Deschamps – Blanche Rouget III. AXES DE LECTURE – L’inspiration de l’auteur – Une œuvre de science-fiction – Une description du cataclysme et l'effondrement d'une civilisation – D’une société à une autre ➢ Une civilisation futuriste ➢ Le retour à la terre – L’actualité de l’œuvre L’auteur René Barjavel est né en 1911 à Nyons (Drome), fils de boulanger, petit

de la révolution française et son aura populaire justifient sa présence ici. Elle a été créée en 1792 alors que l'assemblée constituante a convaincu le roi Louis XVI de déclarer la guerre à l'Autriche. Les troupes sont en garnison à Strasbourg et Rouget de Lisle, connu localement pour son Hymne à la liberté, se voit confier par les généraux et le maire de la ville la réalisation d'un chant de guerre pour encourager les troupes. Il compose alors le Chant de guerre pour l'armée du Rhin. Celui-ci est