Rotationnel

E. Bellanger Analyse vectorielle Stanislas Analyse vectorielle I Syst`emes de coordonn´ees I.1 I.1.1 Coordonn´ees cylindriques R´evisions z #– 1. Exprimer un d´eplacement e´ l´ementaire d ℓ en coordonn´ees cylindriques. 2. Exprimer un volume e´ l´ementaire dτ. 3. Quelle est l’aire d’un cylindre de rayon r et de hauteur h ? 4. Quel est le volume compris entre un cylindre de hauteur h et de rayon r et un cylindre de rayon r + dr et de mˆeme hauteur ?   x = r cos θ    y = r sin θ    

Analyse vectorielle : gradient, rotationnel et divergence 1 Notions fondamentales 1.1 Opérateur 'nabla' L'opérateur 'nabla' ou ∇ est très utile en analyse vectorielle. Il permet de déterminer les notions de gradient, rotationnel, divergence et laplacien de manière simple et concise. Il se définit comme suit :  ∂     ∂x     ∂  ∇=   ∂y       ∂     ∂z  1.2 (1) Travail d'un champ vectoriel le long d'une courbe - Intégrale curviligne Soient un champ vectoriel A et

division Forage et Puits LE CONTEXTE DE LA SITUATION Contexte managérial : Total S.A est une entreprise pétrolière Française privée. Le service gestion du personnel sur site, s’occupe des prestataires rotationnels qui partent en mission sur les plateformes pétrolières ainsi que des employés Total rotationnels. Mon manager a un style de direction participatif, il écoute et aide à résoudre les problèmes. Mon manager est pluri-appartenant, il prend les ordres de sa hiérarchie et anime son équipe. Il a un

d’exprimer le flux de A à travers la surface délimitant le volume dτ : → − dΦ = div( A ) dτ . ® Cette définition est intrinsèque, elle ne dépend pas du choix du système de coordonnées. 7 Analyse vectorielle — Étude des champs → − flux du rotationnel du champ vectoriel A (M) à travers dS est égal à la → − circulation élémentaire dC de A le long de dΓ : Composantes ÖØ × ÒÒ × ÝÐ Ò Ö ÕÙ × ËÔ Ö ÕÙ × ∂A x → − div A = ∂x ∂A y + y,z → 1 ∂(r A r ) − div A = r

en parties sym´etrique et antisym´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.2 Signification de la partie sym´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.3 Signification de la partie antisym´etrique - rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Divergence d’un champ de tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.1 D´efinition intrins`eque ` a partir du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a  dS    diva  dV S V Interprétation physique : La divergence représente le flux sortant d’une surface fermée localement par unité de volume. 2014/2015 Diane Cabaret de Alberti 1 Equations de Maxwell 1.3 Le rotationnel 1.3.1 Définition Définition : Le rotationnel permet de construire un champ de vecteur à partir d’un champ de vecteur. En coordonnées cartésiennes, il est donné par :  a a y   a y ax   ax az  (3) rot a   z   uy     ux    uz  z  x  y   z

surface. COMPLEMENT MATHEMATIQUE Formulaire d’analyse vectorielle Thierry ALBERTIN http://ts2-thierrymaulnier.wifeo.com/ 4 Théorème de STOKES . . La circulation d’un champ de vecteur le long d’un contour fermé est égale au flux de son rotationnel à travers une surface quelconque s’appuyant sur ce contour. 5 Systèmes de coordonnées FIGURE 1 Coordonnées cartésiennes FIGURE 2 Coordonnées cylindriques 2/4 COMPLEMENT MATHEMATIQUE Formulaire d’analyse vectorielle Thierry ALBERTIN

tout point de l'espace, associe un vecteur. Imaginons par exemple l'eau d'un lac. La donnée de sa température en chaque point forme un champ de scalaires, celle de sa vitesse en chaque point, un champ de vecteurs. Le gradient, la divergence et le rotationnel sont les trois principaux opérateurs différentiels linéaires du premier ordre. Cela signifie qu'ils ne font intervenir que des dérivées partielles premières des champs, à la différence du laplacien qui fait intervenir des dérivées partielles

par rapport à un axe est une grandeur scalaire, par contre le moment d’un vecteur par rapport à un point de l’espace est un vecteur (Figure2.10-b-) O O u O O B O' B O' ( ) V A V A 12/GRADIENT, DIVERGENCE ET ROTATIONNEL (i TjM j M R klTMR ) : Définitions : On dit que la fonction f ( x, y, z ) est un champ scalaire si la fonction f ( x, y, z ) est un scalaire. On dit que la fonction V ( x, y, z ) est un champ vectoriel si la fonction est vectorielle.

 ∂z  r 1  ∂ r ar 1  ∂ aθ   ∂ az  * cylindriques: div a =  +   +  r  ∂ r  r  ∂θ   ∂ z  r 1  ∂ r 2 ar  1  ∂ a θ sin θ  1  ∂ aϕ  * sphériques: div a =   + +      ∂ θ  r sin θ  ∂ ϕ  r 2  ∂ r  r sin θ  c. Rotationnel: → r  ∂a ∂ ay  r  ∂ ax ∂ az  r  ∂ ay ∂ ax  r * cartésiennes: rot a =  z − − −  ex +   ez  ey +  ∂z  ∂x  ∂y  ∂z ∂y  ∂x → r 1 ∂a ∂ aθ  r  ∂ ar ∂ az  r 1  ∂ ( r aθ ) ∂ a r  r z * cylindriques: rot a =  − − −  er +   eθ