Raisonnable Rationnel

degré si x tend vers +∞ ou −∞ • La quantité P(a) si x tend vers a. Exemples : • • x →+∞ x →2 lim (−3x3 − x + 2) = lim (−3x3) = −3 lim x3 = +∞ car lim x3 = +∞. x →+∞ x →+∞ x →+∞ lim (x2 + 1) = 5. 3) Limites de fonctions rationnelles Une fonction rationnelle ƒ est un quotient de deux fonctions polynômes. Sa limite est donnée par : • la limite du rapport des termes de plus haut degré si x tend vers +∞ ou −∞ • La quantité ƒ(a) si x tend vers a et si ƒ est définie en a. Une étude plus

expressI onS For r Egular a nA lytiCs by g ooGle Robbin Steif j Ust a story about Regular People and Regular Expressions . . . Google Analytics is one of the most widely used tools to measure and evaluate websites. The GA team has worked hard to make it easier and more intuitive than ever before. However, you may still feel that you are limited by the Google Analytics out-of-the box functionality. If so, it’s time for you to learn about Regular Expressions and how GA uses them.

EXERCICES RÉDIGÉS SUR LA CONTINUITÉ ET LA DÉRIVABILITÉ Exercice 1 Quelques résultats théoriques - Règles opératoires sur les fonctions dérivables Soient ¦ et g deux fonctions définies sur un intervalle I et a un point à l'intérieur de I. Démontrer que si ¦ et g sont des fonctions dérivables en a alors : 1. ¦ + g est dérivable en a. 2. ¦g est dérivable en a 3. Si g est non nulle au voisinage de a alors 1 est dérivable en a. g Exercice 2 Dérivation d'une composition de fonctions dérivables Soit

appartient a I. ` 1.1.2 Rappels sur les nombres r´els. e On note N l’ensemble des entiers naturels, Z l’ensemble des entiers relatifs : N = {0, 1, 2, 3, . . .}, Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, +1, +2, 3, . . .}. On note Q l’ensemble des nombres rationnels, c’est-`-dire l’ensemble des nombres de a p u la forme q , o` p et q sont des entiers relatifs (avec q = 0). Il est difficile de d´finir de fa¸on pr´cise l’ensemble R des nombres r´els. Nous nous e c e e contenterons de l’interpr´tation g´om´trique

d´cimaux. e 3. Les nombres rationnels D´finition : e a avec a et b des Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers. Il peut s’´crire sous la forme e b entiers relatifs et b diff´rent de 0. e Exemples : 2 4 ; ; 5 ; ... 3 5 Fiche issue de http://www.ilemaths.net 1 Remarque : Ce n’est pas parce qu’il y a une notation fractionnaire que c’est forc´ment un nombre rationnel. e π n’est pas un nombre rationnel. 2 Propri´t´ : e e Tous les nombres d´cimaux sont rationnels. e 4. Les irrationnels

utilisée pour prouver qu'un nombre donné sous forme de fraction n'est pas décimal, parce que la fraction qu'on a mentionnée dans l'énoncé n'est pas nécessairement irréductible). La troisième assertion donne une méthode pour reconnaître si un nombre rationnel est décimal : il suffit de déterminer sa fraction irréductible (par exemple en calculant le PGCD de son numérateur et de son dénominateur), puis de tester si le dénominateur est uniquement divisible par 2 ou par 5. La quatrième assertion confirme

-1- Les Nombres Rationnels 3. Les Nombres Rationnels § 3.1 Les fractions Définition : Une fraction est une expression de la forme a b avec a et b des nombres entiers. Une fraction est aussi appelée nombre rationnel. Notation : L'ensemble des fractions est noté par Q Remarque : `⊆]⊆_ Aussi : le numérateur a b la barre de fraction le dénominateur 2 ; 3 Exemples : −1 ; 4 23 ; 0,5 7 sont des fractions Représentation d’une fraction : la

Les nombres rationnels D´ efinition : a avec a et b des Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers. Il peut s’´ecrire sous la forme b entiers relatifs et b diff´erent de 0. Exemples : 2 4 ; ; 5 ; ... 3 5 Fiche issue de http://www.ilemaths.net 1 Remarque : Ce n’est pas parce qu’il y a une notation fractionnaire que c’est forc´ement un nombre rationnel. π n’est pas un nombre rationnel. 2 Propri´ et´ e: Tous les nombres d´ecimaux sont rationnels. 4. Les irrationnels

noté ℤ . 3. Nombres décimaux Un nombre décimal peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. L'ensemble des nombres décimaux est noté ⅅ. 4. Nombres rationnels Un nombre rationnel peut s'écrire sous la forme d'un quotient a/b avec a un entier et b un entier non nul. L'ensemble des nombres rationnels est noté ℚ . 5. Nombres réels L'ensemble des nombres réels est noté ℝ . C'est l'ensemble de tous les nombres que nous utiliserons en classe de seconde. Exemples : 2

Cours d’analyse 1 Licence 1er semestre Guy Laffaille Christian Pauly janvier 2006 2 Table des mati` eres 1 Les 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 nombres r´ eels et complexes Nombres rationnels . . . . . . . . . . Nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . Densit´e des rationnels et irrationnels Nombres complexes . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Logique et langage des ensembles 2.1 Propositions et op´erateurs logiques 2.2 Quantificateurs . . . . . .