Pseudo-aléatoire

suppose que le nombre de bouteilles de lait est suffisamment grand pour assimiler cet expérience à un tirage avec remise. On note X le nombre de bouteilles de lait ayant un bouchon parmi les 10 bouteilles prélevées. a)Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont vous préciserez les paramètres. b)Déterminer p(X = 8). c)Déterminer la probabilité d'obtenir au plus une bouteille de lait sans bouchon. Merci d'avance ! Edité 1 fois. La dernière correction date

usage exclusif des étudiants de l’ENSAI - ne pas diffuser, ne pas citer - 1 Quelques motivations 1.1 La sentinelle de la tour carrée Lors d’une ronde, une méthode simple pour “tromper l’ennemi” est d’avancer ou reculer de manière aléatoire, en tirant à pile ou face. Comme précédement, si Xn désigne la position du garde à l’instant n, l’évolution peut se modéliser à l’aide d’une matrice de transition, /N/ /E/ /S/ /O/ 0 1/2 0 1/2 N  P = E  1/2 0 1/2 0   S  0 1/2 0 1/2

l’analyse factorielle des psychologues Comme la statistique, l’analyse de données « réfrénant son vol mathématique, doit s’honorer d’être une science expérimentale » A la différence de la statistique, qui étudie généralement une ou deux variables aléatoires en se fondant sur des hypothèses (distribution, probabilités) l’analyse de données construit à partir de la réalité observée, des hypothèses, en étudiant simultanément plusieurs variables. Ce qui la différencie donc principalement de la statistique

pont de vue informationnel, et que faut-il faire pour modifier ceci ? Rappel : Soit H(X) ou H (p1, p2, p3, …….,pM), l’entropie d’une variable aléatoire X définie par sa loi de probabilité p(X=xi)=pi. On vérifie les propriétés suivantes liées à la nature de la fonction log : A/ L’entropie H(X) est toujours positive ou nulle. B/ Si H(X) = 0, la variable aléatoire X est presque sûrement égale à une quantité certaine xio. C/ L’entropie H(X) est maximale pour la distribution uniforme pi = 1/M, on aura donc

d’observations {yt, t = 1,2,...,T}. Si on traite chaque observation yt comme une variable aléatoire, alors la séquence {yt, t = 1,2,...,T} définit un processus stochastique, d’où la définition suivante, Définition Un processus stochastique est une collection de variables aléatoires ordonnées dans le temps. Pour une seule réalisation du processus, on dispose d’une seule observation pour chaque variable aléatoire et ces valeurs évoluent dans le temps selon des lois de probabilité. L’échantillon observé

est très proche de P ( x⩽ X ⩽1099 ) Exercice 1 : La sélection chez les vaches laitières de race « Française Frisonne Pis Noir » La production laitière annuelle en litres des vaches laitières de la race FFPN peut être modélisée par une variable aléatoire à densité X, de loi normale de moyenne µ = 6000 et d’écart-type σ = 400. La fonction g désigne la fonction de densité de cette loi normale. 1° Afin de gérer au plus près son quota laitier (production maximale autorisée), en déterminant la taille

On répète donc n fois l’expérience à deux issues : « tirer une rouge numérotée 1 » de probabilité p = 0, 2 car c’est N1 ou « ne pas tirer une rouge numérotée 1 » de probabilité 0, 8, la variable aléatoire X qui sert à compter les succès (nombre de boules rouges sur les n tirages) est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n ; 0, 2). Donc, pour k entier entre 0 et n, p(X = k) = nk ×0, 2k × 0, 8n−k a. « Tirer au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des n tirages » a pour contraire

Bernoulli de paramètre p toute expérience aléatoire n'admettant que deux issues, • l'une appelée « succès », notée S, dont la probabilité d'apparition est p • l'autre appelée « échec », notée E ou ̄ S , dont la probabilité est 1 – p . Exemple : On lance un dé cubique équilibré et on s'intéresse à l'apparition de S : « obtenir un 6 ». 1 C'est une épreuve de Bernoulli de paramètre p= . 6 Propriété 1 : Dans une épreuve de Bernoulli de paramètre p, la variable aléatoire X, prenant la valeur 1 si S se produit

Distribution normale des erreurs . . . . . . . Signification de l’incertitude standard . . . . Discussion de cas remarquables . . . . . . . . Le langage des probabilités . . . . . . . . . . 4.6.1 Le double langage. . . . . . . . . . . . 4.6.2 Variable aléatoire et loi de probabilité. 4.6.3 La mesure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d’année, ce qui lui permettra de tester sa compréhension. Supports didactiques : Le syllabus de cours et d’exercices est disponible au SIC. OBJECTIFS SPÉCIFIQUES EN TERMES DE SAVOIRS En probabilité :     Identifier et manipuler les variable aléatoires; Reconnaître les distributions de probabilités discrètes et continues ; Définir et expliquer les espérances et les variances; Définir et expliquer les lois d'usage courant (binomiale, normale, ...). En statistique :    Reconnaître les principales