Pseudo-aléatoire

le taux de confiance. L'échantillonnage est une aide à la prise de décision pour les entreprises, l'État ou les collectivités locales. 1. Qu'est-ce qu'un échantillon ? Échantillon C'est le n-uplet  obtenu par n répétitions d'une même épreuve aléatoire. Exemple On lance n fois un dé et on note les n chiffres obtenus. Fréquence d'un caractère Sur un échantillon, c'est le quotient du nombre d'apparitions du caractère par le nombre de répétitions de l'expérience. Exemple On compte le nombre

probabilité qu’un forage conduise à une nappe de pétrole est 0,1. 1) Justifier que la réalisation d’un forage peut être assimilée à une épreuve de Bernoulli. 2) On effectue 9 forages. a. Quelle hypothèse doit-on formuler pour que la variable aléatoire correspondant au nombre de forages qui ont conduit à une nappe de pétrole suive une loi binomiale ? b. Sous cette hypothèse, calculer la probabilité qu’au moins un forage conduise à une nappe de pétrole. En donner la valeur à 10 près. Exercice

Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d’eux soit recruté est égale à 0,07. On désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats. a. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. b. Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à 10−3

10 Définition 1 : Processus stochastique On s’intéresse à l’évolution d’un phénomène au cours du temps. Cette évolution est aléatoire, on va la représenter par une famille de variables aléatoires. 15 Un processus stochastique (ou aléatoire) est alors : {Xt ; t ∈ T} Où : – Xt est une variable aléatoire, indexée par le paramètre t, qui est un instant. Les variables aléatoires sont définies sur un espace probabilisé (Ω, Ε, P). D’une façon générale Xt est l’état du système à l’instant t. – T est un

l’écart quadratique y − Ax − B , mais on pondère chacun des éléments par l’inverse de la variance et on en profite pour prendre en compte l’incertitude sur x. On a yˆ = y + δy + Aδx, yˆ valeur mesurée, y valeur « vraie » en x et δx, δy variables aléatoires centrées, la variance associée à y est donc σ2y +(Aσx )2 , par addition des variances. On minimise donc N i =1 y i − A − B xi σ2y + (Aσx )2 2 , c’est la méthode du χ2 . Il suffit alors de faire le même calcul qu’au §2, pour déter- miner A et

Fiche rappels I. Variable aléatoire 1. Définition et exemple Ex : On lance une pièce de monnaie équilibrée deux fois de suite et on note à chaque lancer P ou F selon que l'on obtient pile ou face. On convient qu'obtenir pile fait gagner 1 € et obtenir face fait perdre 2 € . Définition : - On note Ω l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire. - Une variable aléatoire discrète X définie sur Ω est une fonction qui à chaque issue de Ω associe un réel. Ex : Ici, - Ω ={FF, FP, PF, PP}. - La fonction

dit probabiliste ou aléatoire La mise en œuvre de cette méthode implique de disposer d’une base de sondage : Liste exhaustive des personnes faisant partie de la population de base Ex : Tirage au sort de 30 étudiants parmi la liste des présents en amphi. Toute méthode probabiliste repose sur la création d’un échantillon par tirage au sort Tous les éléments de la base doivent avoir la même probabilité d’être tirés au sort C’est une méthode fondée sur le hasard Les méthodes aléatoires de tirage au sort

faces blanches b) deux faces noires c) deux faces de couleur différente. Partie B :Le joueur gagne 5 euros s'il obtient une face noire et perd un euro s'il obtient une face blanche . Il lance toujours deux fois le dé. On considère X la variable aléatoire égale au gain algébrique obtenue 1) Déterminer la loi de probabilité de X 2) Quel est le gain moyen de ce jeu? Exercice 6: QCM sur 5 points Donne sans justification la bonne réponse. Une seule par question. Sur la copie, on indiquera le numéro

LOI BINOMIALES ET APPLICATIONS I) EPREUVE ET SCHEMA DE BERNOULLI 1) Epreuve de Bernoulli DEFINITION : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l’une appelé succès ( ? ), l’autre échec ( ?̅ ). EXEMPLES : • On lance une pièce de monnaie équilibrée ou non. On appelle par exemple succès, l’issue « pile » et échec l’issue « face ». • On lance un dé. On peut décider d’appeler succès la sortie du 6 et échec la sortie de 1, 2, 3, 4 ou 5. 2) Loi de Bernoulli

OMAR AJDIR  AJERROUD SOUKAINA Généralités et définition On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi normale centrée réduite si sa fonction de densité est: Représentation graphique Caractéristiques et propriétés:  Notation N(μ;σ²)  Courbe symétrique autour de μ et a 2 points D’inflexion aux abscisses μ-σ et μ+σ  E(X) = μ  V(X) = σ² La loi normale centrée réduite  Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite N (0 ; 1) si sa fonction de densité est la fonction