Pseudo-aléatoire

Echantillonnage et estimations NOTION DE VARIABLES ALEATOIRES I. DEFINITION Une variable aléatoire X est une variable associée à une expérience ou à un groupe d'expériences aléatoires et servant à caractériser le résultat de cette expérience ou de ce groupe d'expériences. On distingue les variables aléatoires discontinues ou discrètes et les variables aléatoires continues. II. VARIABLE ALEATOIRE DISCONTINUE 2.1. Définition Une variable aléatoire est discrète si elle varie de façon discontinue

Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d’eux soit recruté est égale à 0,07. On désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats. a. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. b. Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à 10−3

bien adaptée pour décrire et tester des hypothèses sur les relations entre une variable dépendante et une ou plusieurs variables explicatives catégoriques ou continues. Il s’agit de modéliser l’effet d’un vecteur de variables aléatoires(X1,…..,Xn) sur le variable aléatoire Y Plus précisément, la régression logistique multinomiale a été choisie pour répondre à la question de recherche pour deux raisons. Tout d'abord, la régression logistique multinomiale est une manière efficace et fiable pour obtenir

F2M=0,15*0,10; on vérifie: Tot=F1B+F1M+F2B+F2M=1; D'après l'arbre de tous les cas possibles: p=F1M/(F1M+F2M)= 0,53125 Par la formule de Bayes : or P(F1/M) = 0,02×0,85/[0,02×0,85+0,10×0,15] = 0,53125 =0,02×0,85+0,10×0,15=0,032  Variable aléatoire discrète Exercice  On joue au jeu suivant : on parie sur un nombre compris entre 1 et 6, puis on lance trois dés et on gagne 3 euros si le nombre sort 3 fois, 2 euros s’il sort deux fois , 1 euro s’il sort une fois. On perd 1 euro s’il ne sort

parfaitement équilibré à six faces dont : deux sont blanches marquées chacune du chiffre 2 ; une est blanche marquée du chiffre 1 ; une est noire marquée du chiffre 1 et les deux autres sont noires marquées du chiffre 3. On considère les variables aléatoires correspondant à la somme des deux chiffres obtenus et le nombre de couleurs différentes obtenues. 33. Le nombre de valeurs différentes pouvant être prises par a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 est : 34. a. b. c. d. aucune des trois propositions ci-dessus n’est

exercice peuvent être traitées de façon indépendante. Partie A : Chaque jour, Antoine s’entraine au billard américain pendant une durée comprise entre 20 minutes et une heure. On modélise la durée de son entrainement, en minutes, par une variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [ 20 ; 60 ]. 1. Calculer la probabilité p pour que l’entrainement dure plus de 30 minutes. 2. Calculer l’espérance de X. Interpréter ce résultat. Partie B : Dans cette partie les probabilités seront, si

nombreuses sources de variation attribuables au hasard qui sont toujours présentes à des degrés divers dans différents processus. Les statistiques étant l’étude des phénomènes perturbés par le hasard, on sait modéliser le comportement des causes aléatoires, et par conséquent, prévoir la performance d’un processus qui n’est soumis qu’à des causes communes de dispersion. De toutes manières, ces causes étant toujours présentes et de plus, en grand nombre, il faudra « vivre avec ». L'ensemble de ces causes

désigne la variable aléatoire qui donne le nombre de billets gagnants parmi les deux choisis. Déterminer la loi de probabilité de X . b. On revient au cas général avec n supérieur ou égal à 3. Calculer la probabilité notée p n , d’avoir exactement un billet gagnant parmi des deux choisis. 2. Dans cette question, on choisit au hasard deux billets dans cette urne en remettant le premier bilet tiré avant de tirer le second. a. On suppose ici n = 10. Y désigne la variable aléatoire qui donne le nombre

probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif. Partie B On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes. 1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. 2. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10

bus ? Partie B : le vélo On suppose dans cette partie que l’élève utilise le vélo pour se rendre à son lycée. Lorsqu’il utilise le vélo, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire T qui suit le loi normale d’espérance µ = 17 et d’écart-type σ = 1,2. 1. Déterminer la probabilité que l’élève mette entre 15 et 20 minutes pour se rendre à son lycée. 2. Il part de son domicile à vélo à 7 h 40. Quelle est la probabilité qu’il