Pseudo-aléatoire

L’approximation est d’autant meilleure que la probabilité de succès p est petite. Poisson Binomiale p E( X ) λ V (X ) λ n=30, p=0.2 n=30, p=0.5 n=30, p=0.8 np np (1 − p ) ≈ np Convergence vers la loi normale La somme de k variables aléatoires indépendantes quelconques d’espérance m et de variance s2 converge vers une loi normale d’espérance k*m et de variance k*s2 Exemples de convergence de la loi binomiale vers la loi normale (np≥5) 

sont des fonctions marginales continues alors C est unique. Ce théoréme permet d’associer à chaque distribution bidimensionnelle une copule. Le théorème de Sklar appliqué à des variables aléatoires continues conduit au théorème suivant. Théorème 2 Soit ( X1,..., Xn) un vecteur de variables aléatoires continues admettant F1 ,...,F n comme fonctions de répartition marginales et F comme fonction de répartition jointe, alors il existe une copule C qui vérifie la relation du théorème 1. Si les

p(t)Q, avec p(t) = (pj (t))j∈E , et pj (t) = i∈E pij (t)pi (0) soit sous forme matricielle p(t) = p(0)P(t) Abdeslam Kadrani, INSEA–Rabat Processus Stochastique Loi continue sans mémoire Loi exponentielle Une variable aléatoire X est une variable aléatoire exponentielle de paramètre α (α > 0) si P[X ≤ x] = F (x) = La densité de X est f (x) = αe −αx , x ≥ 0 0, x < 0 1 − e −αx , x ≥ 0 0, x < 0 L’espérance et la variance de X sont E [X ] = 1 , α Var [X ] = 1 α2 La loi exponentielle

d’échantillonnage de moyennes 2.1 Théorème de la limite centrée Soit X1, X2, ,Xn, n variables aléatoires indépendantes, ayant même espérance mathématiques m et même écart type σ ,si Mn est la variable aléatoire définie par : X + X 2 ......X n Mn = 1 = n ∑ Xi i =1 i =n n Si n est suffisamment grand (n ≥ 30), alors Mn suit approximativement la loi normale N(m ; σ n ) 2.2 Loi de Mn X variable aléatoire définie sur Ω avec : E(X) = m et V(X) = σ2. Soit Mn, la VA. qui, à tout échantillon

Où : Yt = PIB ou le revenu national; Ct = consommation finale de la population; It = investissements; Gt = dépenses publiques (la consommation finale de l’administration publique); ut = variable aléatoire; a1, b1, b2 = les paramètres du modèle économétrique qui seront estimés. Le passage de la forme structurelle à la forme réduite suppose l’obtention d’un nouveau modèle dans lequel les variables endogènes sont exprimées (dépendent)

MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE Définitions : Soit X une variable aléatoire réelle, de loi ou bien discrète ou bien continue, dont on veut estimer un paramètre θ. On note cette famille de lois paramétriques. Alors on définit une fonction f telle que : fθ(x) représente la densité de X (où θ apparaît) et Pθ(X = x) représente une probabilité discrète (où θ apparaît). On appelle vraisemblance de θ au vu des observations (x1,...,xi,...,xn) d'un n-échantillon indépendamment et identiquement distribué selon

De même, on est rarement certain de recevoir les recettes nettes résultant de l'activité d'une entreprise. En effet, les flux économiques futurs sont aléatoires et il existe toujours un risque que l'entreprise devienne déficitaire. On parle dans ces cas, d'actifs risqués. Si on détient un actif risqué, on se place alors dans un avenir aléatoire, dans lequel la somme à encaisser dans le futur (la rentabilité) n'est pas certaine. Face à ce constat, on pourrait se poser la question suivante:

Aléatoire IQ HN UE EC LY T à la théorie Introduction PO LE et O calcul des probabilités É C au U NIQ E Y POL LE ÉCO H Sylvie Méléard TEC ÉCO LE TE O LY P CH U NIQ E •L ÉDITION ES S D E L'É C O LE P O LY T E C H NIQ E U Ce logo a pour objet d’alerter le lecteur sur la menace que représente pour l’avenir de l’écrit, tout particulièrement dans le domaine universitaire, le développement massif du « photocopillage ». Cette pratique qui s’est généralisée

: p(F) = p(R1 ∩ N2 ) + p(N1 ∩ R2 ) 4 9 1 1 = × + × 10 5 10 10 17 = 0, 17 = 100 3. Si les 2 cases obtenues sont rouges le joueur reçoit 10 € ; si une seule des cases est rouge le joueur reçoit 2 € ; sinon il ne reçoit rien. X désigne la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros du joueur (rappel le joueur mise 1 €). a. Déterminer la loi de probabilité de X. N2 R2 R1 4 5 N2 R2 www.bac-de-maths.fr - Le partenaire de votre réussite ! Bac S de maths 2008 - Métropole septembre Corrigé

arrondi au millième.) 3. Étude d’une variable aléatoire B. Les jouets ayant satisfait aux deux contrôles rapportent un bénéfice de 10 e, ceux qui n’ont pas satisfait au test de solidité sont mis au rebut, les autres jouets rapportent un bénéfice de 5 e. On désigne par B la variable aléatoire qui associe à chaque jouet le bénéfice rapporté. (a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire B. (b) Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire B. 1 1102/10/41 el ruoP nosiam