Nombre rationnel

LES NOMBRES COMPLEXES Les nombres sont des objets abstraits créés par l’homme : création des nombres entiers naturels, des fractions et des nombres rationnels, des nombres à signe, des décimaux, des nombres réels... I/- Le corps des nombres complexes. Le plan complexe. 1) Définition et conventions d’écriture. Définition 1 : 1/- Chaque couple ( x, y ) de nombres réels définit un unique nombre complexe z noté x  iy ou x  yi. 2/- x est appelé partie réelle de z et est noté Re(z) 3/- y est appelé partie

– Ensembles de nombres Activités, exercices Activité 1 : Ensembles remarquables de réels 1. Ensemble de nombres Compléter les phrases suivantes :  N est l’ensemble des entiers naturels (ex : 0 ; 1 ; 2 ; …)  Z est l’ensemble des entiers relatifs (ex : –1 ; –3 ; 2 ; 0 …)  D est l’ensemble des nombres décimaux (ex : 2,3 ; 4,35 ; 3 ; –1 ; 0 ; 2 …) 2 1  Q est l’ensemble des nombres rationnels (ex : 2 ; –3 ; 4,5 ; –2,3 ; …) 3  R est l’ensemble des nombres réels (tous les nombres connus) 2. Appartenance

NOMBRES ENTIERS ET PGCD I. DIVISEUR D’UN ENTIER NATUREL a) Définition Si on a deux entiers naturels a et d non nuls, alors : d est un diviseur de a si et seulement si il existe un entier k tel que a=d ×k Ainsi, k est aussi diviseur de a. En clair : 4 est-il un diviseur de 12 ? 12 = 4×3, donc 4 est bien un diviseur de 12. b) Remarques Pour tout nombre entier naturel n on a : 1×n = n On en conclut que 1 est un diviseur de n’importe quel nombre entier naturel. Et tout nombre entier naturel

NOMBRES ENTIERS ET PGCD I. DIVISEUR D’UN ENTIER NATUREL a) Définition Si on a deux entiers naturels a et d non nuls, alors : d est un diviseur de a si et seulement si il existe un entier k tel que a=d ×k Ainsi, k est aussi diviseur de a. En clair : 4 est-il un diviseur de 12 ? 12 = 4×3, donc 4 est bien un diviseur de 12. b) Remarques Pour tout nombre entier naturel n on a : 1×n = n On en conclut que 1 est un diviseur de n’importe quel nombre entier naturel. Et tout nombre entier naturel est un diviseur

au lycée La Martinière-Monplaisir à Lyon © Dunod, Paris, 2008 ISBN 978-2-10-053973-4 Table des matières 1. Les nombres réels Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 1 1 3 5 6 5. Dérivation Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 59 59 62 66 67 2. Les nombres complexes Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 11 11 14 18 19

l’algèbre A. Les nombres réels Les nombres réels constituent l’ensemble des nombres positifs, négatifs ou zéro : autrement dit l’ensemble des nombres entiers, nombres relatifs (fractions ou ratios : nombres rationnels), nombres irrationnels (à savoir les nombres qu’on ne peut pas présenter comme le rapport de deux nombres entiers), et les nombres qu’on ne peut présenter ni en forme de fraction de deux nombres entiers ni en forme de racine d’un nombre entier ou rationnel. Exemple de nombres réels : - 6

@ ( x ) − ln( x ). La fonction d est la différence de deux fonctions dérivables sur I donc d est dérivable sur I : d ' = @ '− f = f − f = 0 . b) La dérivée de d est la fonction nulle sur l’intervalle I, donc d est constante sur I. Il existe un nombre k tel que : ∀x ∈ I, d ( x ) = k . c) Or d(1) = @ (1) − ln(1) = 0 donc k = 0 . On en déduit que ∀x ∈ I, @( x ) = ln( x ). PROBLÈME OUVERT Une première approche consiste à calculer une valeur approchée de l’aire de  : aire() = aire() – aire()

nombreuses plate-formes logicielles (Unix/Linux, Macintosh, MS-Windows, etc.) 1. Scalaire - Les variables scalaires sont toujours définies avec un caractère $ initial. - Un scalaire contient toujours une valeur simple qui peut être un nombre, une chaîne ou une référence à une autre donnée. - Les scalaires sont sans type, même s’ils peuvent référencer toutes sortes de données : il n’est pas nécessaire de les déclarer. Exemple  $entier = 5 ;

de frappe et des erreurs. Toute correction apportée à ce texte sera la bienvenue. ii iii Notations et identités remarquables N = ensemble des entiers naturels Z = ensemble des entiers relatifs Q = ensemble des nombres rationnels R = ensemble des nombres réels C = ensemble des nombres complexes ∃ ∀ ∈ ≤ ≥ “ il existe ” “ pour tout ” “ appartient ” “ plus petit ou égal ” “ plus grand ou égal ” (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (a − b)(a + b) = a2 − b2 (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3a

régulière qui valide un angle en degrés. * nombre entier, * compris entre 000 et 359 (attention : 275 est bon mais pas 375) * les zéros non-significatifs sont toujours présents * donc, toujours 3 digits   |   6. Faites une expression régulière qui permet de valider un nombre binaire sur 8 bits uniquement. Par exemple: 01001101   |   7. Réalisez une expression régulière qui permet de valider un nombre hexadécimal sur 2 digits. Exemples: 7B, 2C, 02