Nombre imaginaire pur

1 : Nombres complexes 1) Introduction L’objectif est l’introduction d’un nouvel ensemble de nombres (en fait on étend encore l’ensemble des nombres, au-delà des réels) pour résoudre une préoccupation importante. Certaines équations du second degré, comme par exemple , n’ont pas de solution dans . On introduit alors un nombre noté i tel que « i » pour « imaginaire » opposée à « réel » Les nombres complexes vont être obtenus comme toutes les sommes , lorsque et sont des nombres réels

ORMES ALGÉBRIQUES Objectif : définir un nouvel ensemble de nombres C, qui prolonge R en conservant les règles de calcul de R, et qui permette de traduire les transformations géométriques du plan par des calculs simples dans C. 3.1 Représentation d’un point du plan par un nombre complexe → → Définition : (O; − , − ) est un repère orthonormal direct du plan. u v – A tout point M de coordonnées (x, y), avec x et y réels, on associe un nombre complexe z = x + iy. −→ − On dit que M est le point image

LES NOMBRES COMPLEXES Les nombres sont des objets abstraits créés par l’homme : création des nombres entiers naturels, des fractions et des nombres rationnels, des nombres à signe, des décimaux, des nombres réels... I/- Le corps des nombres complexes. Le plan complexe. 1) Définition et conventions d’écriture. Définition 1 : 1/- Chaque couple ( x, y ) de nombres réels définit un unique nombre complexe z noté x  iy ou x  yi. 2/- x est appelé partie réelle de z et est noté Re(z) 3/- y est appelé partie

Nombres complexes 4ème année Maths Année scolaire 09 - 10 A. LAATAOUI Sessions antérieures Exercice N°1 (SP.2001) © r r Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé O; u; v on considère les points A et B ( ) d’affixes respectives a et 1 où a est un nombre complexe donné différent de 1. Soit f l’application de P \ {B} dans P qui’ à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ telle z-a que : z ' = . z-1 1. Montrer que les affixes des points invariants

NOMBRES COMPLEXES Au début du XVIème siècle, le mathématicien Scipione dal Ferro, propose une formule donnant une solution de l'équation du 3ème degré x 3 + px = q : x= 3 q - q 2 + 4 p3 27 + 2 3 q + q 2 + 4 p 3 27 2 A la fin du XVIème siècle, le mathématicien Bombelli applique cette formule à l'équation x 3 - 15x = 4. Il obtient littéralement : x= 3 2 - 11 -1 + 2 + 11 -1 -1 . 3 Cette écriture n'a, a priori, pas de sens puisqu'on ne sait pas ce que représente le symbole

et la conversion. A- Le filtrage : 1. Rappel sur les nombres complexes : 1.1. Définitions : On appelle nombre complexe Z, tout nombre ayant la forme: Z = a + jb Avec : a et b des nombres réels et j est l’opérateur mathématique caractérisé par j2 = -1. a est la partie réelle de Z et se note Re(Z) ; b est la partie imaginaire de Z et se note Im(Z) ; Le module d’un nombre complexe Z = a + jb, noté Z ou |Z|, est le nombre réel positif : son argument, noté Arg(Z) ou , est l’angle

2𝑖)𝑧 − 𝑖𝑧′ = 1 − 𝑖 (0,75 pt) B- On considère le nombre complexe 𝑍 = 1−𝑖𝑧 1+𝑖𝑧 où 𝑧 ≠ 𝑖. 1) Déterminer l’ensemble des nombres complexes 𝑧 pour que le complexe Z soit réel. (0,75 pt) 2) Montrer que Z est imaginaire pur si z𝑧̅ = 1. (0,5 pt) C- 1) Résoudre dans ℂ, l’équation

et que deux nombres complexes égaux ont même partie réelle et même partie imaginaire, on en déduit que : 2 2 3y X = x - 5x + 4 + y et Y = . 2 + y2 (x - 1) (x - 1)2 + y2 b) E est l'ensemble des points M d'affixe z ≠ 1 tels que Z soit réel. Z est réel ⇔ Y = 0 ⇔ 3y = 0 ⇔ y = 0. Donc E est la droite d'équation y = 0 privé du point A, c'est-à-dire l'axe des réels privé de A. c) F est l'ensemble des points M d'affixe z ≠ 1 tels que Z soit imaginaire pur. 2 Z est imaginaire pur ⇔ X = 0 ⇔ x2

direct du plan, déterminer l’ensemble des points M du plan tels que : a. |z – 2 + i| = |z + 3i| b. |z + 4 – i| = 2 Exercice 7 (2.5 pts) a. Démontrer qu’un nombre complexe z est imaginaire pur, si et seulement si : − = − z. z b. Démontrer que pour tout nombre complexe z et z’, on a l’égalité : z × z ' = z × z ' . Pré-requis : Forme algébrique d’un nombre complexe et de son conjugué. → → Corrigé du Test Exercice 1 (3.5 pts) Donner la forme algébrique des complexes suivants : z1 = (3 − 2i)(1 − i) =

Forme algébrique des nombres complexes Partie réelle, partie imaginaire La forme algébrique d'un nombre complexe est a + ib où a et b sont deux réels. Si z = a + ib où a R et b R, a est la partie réelle de z, notée Re(z), et b est la partie imaginaire de z, notée Im(z). La partie réelle et la partie imaginaire d'un complexe sont des nombres réels. Les réels sont les nombres complexes dont la partie imaginaire est nulle. Les imaginaires purs sont les nombres complexes dont la partie