Matrice unitaire

fonction de plusieurs variables sont ceux où toutes les dérivées partielles s'annulent. Pour être complet, signalons encore sans entrer dans les détails que la nature du point stationnaire est en général déterminée par l'étude de la matrice des dérivées secondes (matrice hessienne), c'est-à-dire du tableau carré dont les éléments sont donnés par : hi , j = ∂2 f ∂xi ∂x j 3.2. Différentielle Pour exprimer que fi(x1,…,xn) (i = 1,…,n) est la dérivée par rapport à xi d'une fonction F(x1,…,xn) on note

SESSION 2002 E3A Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE Epreuve de Mathématiques 3 MP Partie 0. Un exemple. 1. On a M = diag(1, 2, . . . , n). Soit alors A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Mn (C). La matrice AM est la matrice (jai,j )1≤i,j≤n et la matrice MA est la matrice (iai,j )1≤i,j≤n . Par suite, AM = MA ⇔ ∀(i, j) ∈ {1, . . . , n}2 , iai,j = jai,j ⇔ ∀(i, j) ∈ {1, . . . , n}2 , (i − j)ai,j = 0 ⇔ ∀i = j, ai,j = 0. On a montré que ⇔ A ∈ Dn (C). C(M) = Dn (C). 2. Donc immédiatement, dim(C(M))

Définitions : Soient (Ω,a,P) un espace de proba et E l’espace des états. 1) Une matrice π = (π (x, y), x, y ∈ E) est une matrice stochastique si : π (x, y) ≥ 0 pour tous x, y ∈ E et z π(x, z) = 1 pour tous x ∈ E. 2) Soit π une matrice stochastique sur E. Une suite de variables aléatoires (Xn, n ∈ N) définies sur (Ω,a,P) à valeurs dans E est une chaîne de Markov de matrice de transition π si pour tous n ∈ N, x ∈ E, on a : P(Xn+1 = x /

CCP PC Math´matiques 1 e Probl`me 1 e 1) a) F ⊂ M, F contient la matrice nulle, est stable par combinaison lin´aire , donc F est un sous espace vectoriel e de M b) I et F sont des ´l´ments de F et ne sont pas proportionnels donc (I, F ) est une famille libre de F ee ax + bz −bx + cz ax − by az − bt x z et M F = , on obtient F M = Posons M = ay + bt −by + ct bx + cy bz + ct y t y = −z c−a comme b = 0 , M ∈ F ´quivaut a e ` , donc F est un R-espace vectoriel de dimension 2 x= t+ z b (I, F ) est donc

⇔ . Donc E1 = Vect(v2 ) où v2 = (1, 0, 1). −8x − 5y + 8z = 0 x=z   x − z = −5y 8   4x + 4y − 7z = 0 z=0 −8x − 8y + 8z = 0 ⇔ • v ∈ E4 = Ker(f − 4Id) ⇔ . Donc E4 = Vect(v3 ) où v3 = (1, −1, 0). y = −x  z=0 Dans la base B = (v1 , v2 , v3 ), la matrice de f est D = diag(0, 1, 4). 1 où P =  −2 0   1 1 0 −1  et donc 1 0 3) Soit m 1. Les formules de changement de bases permettent d’écrire A = PDP−1 en notant B0 = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 , Am = matB (fm ) = P × matB0

; ce qui nécessite le calcul de la matrice de passage de la base (A, B, C) à la base (P1, P2, P3). II.1 Matrice de passage et matrice de covariance La matrice de passage s’obtient par diagonalisation de la matrice de covariance C associée aux Np points [Escofier, 1990]. En effet, calculer la matrice de covariance revient à faire l’approximation que les Np points font partie d’un ellipsoïde à trois dimensions (Figure 3) ; en diagonalisant cette matrice, on obtient : les axes de cet ellipsoïde

- Reduction des endomorphismes : ´nonc´ e e ´ Reduction pratique de matrices Exercice 1 - Diagonalisation - 1 - L1/L2/Math Sp´ e Diagonaliser les matrices suivantes : 0 3 2 0 2 −1     A =  3 −2 0  B =  −2 5 2  . 2 −3 0 −2 2 1 On donnera aussi la matrice de passage de la base canonique ` la base de vecteurs propres. a     Exercice 2 - Diagonalisation - 2 - L2/Math Sp´ e Expliquer sans calculs pourquoi la matrice suivante n’est pas diagonalisable : π 1 2   A =  0 π 3 . 0 0 π

preliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.5.1 Determinant d' une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.5.2 Mineurs principaux d' une matrice . . . . . . . . . . . . 55 2.5.3 Matrice hessienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.5.4 Matrice hessienne bordee . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.5.5 Matrices denie positive et semi denie positive . . . . . 57 2.5.6 Matrices denie negative et semi denie negative . . . . 57 2.5.7 Caraterisation .

Montrer que l’on peut écrire les équations de Galerkin sous la forme matricielle : [K]{U} = {F} et donner la définition des termes de la matrice [K] et du vecteur {F}. Question 5) Le domaine Ω est maillé avec un maillage M d’éléments finis triangulaires à trois nœuds. Quelle est la dimension de la matrice de rigidité élémentaire ? Donner la dimension de la matrice [K], sachant que : • il y a N nœuds au total dans le maillage ; • sur la frontière Γ1, il y a N1 nœuds ; • sur la frontière

 i  h  i 2 i j 1 2 ij 2 i Communauté + spécificité ' Σ = ΛΛ + Ψ M2S3, 24 novembre 2009 9 Indépendance conditionnelle • Matrice de variance des manifestes et des facteurs  Σ Λ   Λ' I    Σ11   Σ 21 Σ12   Σ 22  Σ11/ 2  Σ11  Σ12  Σ 22  Σ 21 1 Σ x/f  Σ  ΛΛ '  Ψ Matrice diagonale: l’AF explique les corrélations M2S3, 24 novembre 2009 10 Indétermination des facteurs • Modèle surparamétré • Invariance par transformation