Matrice unitaire

que tout idéal de K[X] est prinicipal. 4) PGCD, PPCM, Bezout, Gauss. Théorème et définition. A et B sont deux polynômes non nuls. L’idéal engendré par A et B est A.K[X] + B.K[X] = {AU + BV, (U, V) ∈ K[X]}. Le PGCD de A et B est l’unique polynôme D unitaire tel que AK[X] + BK[X] = DK[X]. C’est un diviseur commun à A et B et tout diviseur de A et B divise D. Les diviseurs communs à A et B sont les diviseurs de D. Théorème de Bézout. Soient A et B deux polynômes non nuls. A et B sont premiers entre eux

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 66 68 69 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Matrice densité 79 6.1 Propriétés de la matrice densité . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.2 Matrice densité d’états mixtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.3 La décohérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 7 Circuits quantiques 7.1 Portes à 1 et 2 qu-bits . . . .

vectoriel On appelle la matrice dont les vecteurs colonnes sont formés par les composantes des vecteurs dans la base Par exemple si l'espace vectoriel est de dimension 3 et que l'on a La matrice sera égale à : Nous avons démontré l'an dernier que cette matrice est inversible si et seulement si la famille est une base de l'espace vectoriel. La matrice est alors appelée matrice de passage de la base à la base 2. Rôle de Reprenons l'exemple précédent. La matrice est inversible et l'on a

x z y t AQ = QD ⇔ ⇔        z = λ1 x t = λ2 y x y . Le déterminant d’une telle matrice λ1 x λ 2 y est xy(λ2 − λ1 ). Puisque λ1 − λ2 = 0, ce déterminant est nul si et seulement si xy = 0. Par suite, Q est inversible si et seulement si x = 0 et y = 0. Les matrices Q telles que AQ = QD sont les matrices de la forme Les matrices Q ∈ G L n (C) telles que AQ = QD sont les matrices de la forme x λ1 x y λ2 y , (x, y) ∈ (C∗ )2 . http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget

elle souffre en pratique des inconv´enients li´es `a l’utilisation de l’agorithme du gradient. Nous proposons dans cet article une nouvelle technique d’ICA baptis´ee SAUD (Semi-Algebraic Unitary Deflation) et bas´ee sur une proc´edure de d´eflation unitaire semialg ´ebrique. SAUD permet ainsi d’identifier une `a une les composantes ind´ependantes sans souffrir des inconv´enients des approches adaptatives (lenteur de convergence, etc.). Des simulations num´eriques en contexte biom´edical illustrent

Gram(u, v) la matrice définie par : u·u u·v et G(u, v) = det[ Gram(u, v) ] Gram(u, v) = v·u v·v I.A.1) I.A.2) I.A.3) Montrer que : G(u, v) ≥ 0. On note P un sous-espace vectoriel de dimension 2 de E contenant u et v et B une base orthonormale de P . Vérifier que : G(u, v) = [ detB (u, v) ]2 À quelle condition a-t-on G(u, v) = 0 ? I.B - Dans toute la suite de la partie I, n est égal à 3 et E est orienté. Si u, v, w sont trois vecteurs quelconques de E , on note Gram(u, v, w) la matrice définie par :

Prof. Mohamed El Merouani REGRESSION LINÉAIRE MULTIPLE Plan du Chapitre : I.- Position du problème II.- Hypothèses d’application de la Méthode de moindres carrées III.- Estimation des composants du vecteur A lM ®E IV.- Espérance mathématique et matrices des variances covariances des estimateurs …à suivre… I.- Position du problème : Le modèle de régression linéaire multiple est de la forme : ero Y = a1 X 1 + a2 X 2 + L + ak X k + ε , où Y est la variable à expliquer,. ua X1,X2,…,Xk ce sont

l’endomorphisme de matrice M dans cette base :  1 −1 1    M =  −2 0 −1    1   −2 −2 1. 2. 3. 4. 5. 6. Déterminer son polynôme caractéristique. Calculer ses valeurs propres. Donner une base des sous-espaces propres. Décider si f est diagonalisable. Donner éventuellement l’expression diagonalisée. Vérifier en utilisant les matrices de changement de base. EXERCICE 2. Faire, pour la matrice A suivante, une étude semblable à celle de l’exercice 1 pour la matrice M :  3

u(P) = P(X + 1) − P. 1. Déterminer Keru et Imu. 0 1 0 ...  . .. .. ..  . . . .  .  .. 2. Déterminer explicitement une base dans laquelle la matrice de u est  .   . ..  . . . 0 ... ... 1   0 .  .  .   0 .   1  0 Correction [005602] Exercice 6 ***  1 cos(a) cos(2a) cos(3a)  cos(a) cos(2a) cos(3a) cos(4a)   Rang de la matrice   cos(2a) cos(3a) cos(4a) cos(5a) . cos(3a) cos(4a) cos(5a) cos(6a)  Correction [005603] Exercice 7 *** Soit A = (ai, j )1 i, j A−1 .

matriciel 3 1.1 Dénitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Multiplication par un scalaire . . . . . . . . . 1.2.3 Multiplication des matrices . . . . . . . . . . 1.3 Matrices élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Opérations élémentaires sur une matrice . . . 1.3.2 Application pour déterminer l'inverse d'une carrée . . . . . . . . . . . . . . .