Matrice orthogonale

matriciel 1.1 1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Transposée d'une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Matrices particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

dimension finie : on notera toujours · la norme, indépendamment de l’espace utilisé. Dans l’espace Rn , on note (e1 , . . . , en ) la base canonique et on identifie le plus souvent une application linéaire et sa matrice dans la base canonique. Par ailleurs, on notera AT la transposée d’une matrice A. L’espace Rn est naturellement muni d’un produit scalaire canonique, noté ·, · , et défini pour deux vecteurs x, y ∈ Rn par x, y = xT y. Définition 1 (différentielle). Soient U un ouvert de Rn et a ∈ U . Une

consacr´e ` a la primitivation et au calcul int´egral ainsi qu’`a ses applications au calcul d’aires, de volumes et de travail d’une force. Le huiti`eme chapitre pr´esente quelques notions de calcul matriciel (op´erations entre matrices, calcul d’un d´eterminant et inversion d’une matrice). Enfin, le neuvi`eme chapitre est une introduction aux nombres complexes. Je m’en voudrais de ne pas profiter de cette occasion pour exprimer toute ma gratitude `a Fran¸coise Bastin pour l’accueil qu’elle r´eserve toujours

19.2.1 Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.2 Orthogonal d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.3 Algorithme d’orthonormalisation de Schmidt . . . . . . 19.2.4 Calculs dans une base orthonormale . . . . . . . . . . . 19.3 Produit mixte, produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . 19.3.1 Produit mixte dans un espace euclidien orienté . . . . . 19.3.2 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4 Projections orthogonales . . . . . . . .

de distances entre une matrice et certaines parties de Mn ( ! ) Notations Dans ce sujet, n est un entier naturel non nul et on note : Mn ( ! ) : la ! -algèbre des matrices carrées réelles d’ordre n. Mn,1 ( ! ) : le ! -espace vectoriel des matrices à n lignes et à une colonne. Pour une matrice A de Mn ( ! ) , t A est sa matrice transposée, rang ( A) son rang et Tr ( A) sa trace. In : la matrice unité de Mn ( ! ) . S n ( ! ) : le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de Mn ( ! )

site pour les installer sur le vôtre. MATRICES PLAN I : Matrice associée à une application linéaire 1) Définition 2) Somme de matrices 3) Produit par un scalaire 4) Produit de matrices 5) Rang d'une matrice II : Anneau des matrices carrées 1) Définition 2) Matrice identité 3) Matrices particulières Matrices scalaires Matrices diagonales Matrices triangulaires Matrices nilpotentes Matrices inversibles III : Transposition 1) Définition 2) Propriétés 3) Matrices symétriques et antisymétriques IV : Changement

Dénitions Vecteurs orthogonaux, famille orthogonale, orthonormale Un système orthonormal est libre(démo) Th de Pythagore 1.4.2 Sous-espaces orthogonaux Dénition : orthogonalité de 2 sev, supplémentaires orthogonaux Si F est un sev de E , l'orthogonal de F est F ⊥ = {y ∈ E, ∀x ∈ F (x|y) = 0} ; c'est un sev de E F ∩ F ⊥ = {0}, F ⊂ (F ⊥ )⊥ , {0}⊥ = E , E ⊥ = {0}(démo) Si F et G sont supplémentaires orthogonaux, G = F ⊥ et F = (F ⊥ )⊥ (démo) Dénition d'un projecteur orthogonal Th (isomorphisme)

= 1/2(u + u ) + 1/2(u − u∗ )). • On dit qu’un automorphisme u de E est orthogonal ssi u admet un adjoint et u∗ = u−1 . D´finitions . — On dit qu’un endomorphisme u de E est normal ssi u admet un adjoint et e u et u∗ commutent. Remarques . — • Un endomorphisme sym´trique, antisym´trique ou orthogonal est normal. e e • Clairement, si F est un sous-espace de E stable par un endomorphisme u sym´trique, e antisym´trique ou orthogonal, F est aussi stable par u∗ . On montrera (Lemme 8) que ce r´sultat est

de P2P1,où: * P1 désigne le projecteur orthogonal sur l'espace engendré par les colonnes de X1 P2 désigne le projecteur orthogonal sur l'espace engendré par les colonnes de X2. * 2. Z1 1 est une combinaison linéaire des variables du tableau X1 Z1 2 est une combinaison linéaire des variables du tableau X2 Les valeurs des projecteurs P1 et P2 : Rappel d'algèbre linéaire * Définition : Le projecteur orthogonal sur l'espace E engendré par les colonnes de X est

représentation vectorielle, on considère très souvent comme confondus l'origine O de l'espace et le centre de gravité g. Soit donc un axe ∆ passant par O. On appelle inertie par rapport à ∆ la quantité: Si nous appelons Proj∆(Xi) la projection orthogonale de Xi sur l'axe ∆, l'inertie pourra s'écrire: On appelle inertie expliquée par un axe ∆ passant par l'origine, la quantité : D'après le théorème de Pythagore on peut dire que: I(o) = I(∆) + IE(∆). L'inertie du nuage est la somme de l'inertie