Matrice diagonalisable

remplacer le système (S) par une matrice faisant intervenir à la fois des coe¢ cients des inconnues et le second membre du système, exactement dans l’ordre dans lequel ils apparaissent. Cette matrice s’appelle la matrice augmentée associée à (S): Dans notre exemple, elle s’écrit 1 0 1 1 2 -1 G = @ 2 -1 2 -4 A 2 M3;4 (R): 4 1 4 -2 Les opérations sur 0 1 1 G = @ 2 -1 4 1 les équations du système reviennent alors à des opérations sur les lignes de la matrice 1 1 0 0 1 1 2 2 -1 1 1

ANALYSE NUMERIQUE 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Définitions Des exemples Calcul des racines d’une fonction Interpolation numérique Intégration numérique Résolution numérique d'équations différentielles Calcul matriciel ANALYSE NUMERIQUE 1. Définitions • Définition générale L’analyse numérique est une discipline du domaine des mathématiques qui consiste dans l’étude et l’implémentation d’algorithmes pour résoudre des problèmes d’analyse au moyen de calculs arithmétiques. • Définition

probabilit´ (cas discret) e 1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 D´ finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Op´ rations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3 Matrice identit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.4 Matrice inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Matrice diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Puissance et exponentielle d’une matrice . . . . . . . . 2 Probabilit´

' $ TD : Outils quantitatifs 2 Licence Économie et Gestion Parcours A.E.S, 1re année & % Ali AIT OU AMMI Marie BERTHELEMY Pierre-Marie BRENDERS 2010-2011 Table des matières 1 TD1 : Opérations sur les matrices 2 TD2 : Résolution de systèmes linéaires 3 TD3 : Distribution à un caractère : Représentations graphiques 4 TD4 : Caractéristiques de position et de dispersion 5 TD5 : Caractéristique de concentration : Indice de Gini 5 7 10 12 14 1 OQ2 – AES 2 Objectifs Familiariser

E Principe de dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Feuille d’exercices n◦ 2 – calcul des propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 III Matrices I 19 Notion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 A Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 B Définition générale . . . .

dimension n, muni d’une base quelconque ; ii) tout élément de cet espace est transformé linéairement, par chaque opération du groupe, en un élément du même espace. Alors, à chaque opération de symétrie peut être associée la matrice de cette transformation linéaire, qui est une matrice carrée n × n dont l’expression dépend de la base. L’espace vectoriel constitue un espace de représentations, cette base est la base de la représentation et n est la dimension de la représentation. 3.2.2. Un premier espace

le paramètre a pour que le déterminant de la matrice [pic]soit nul. Soit a un réel quelconque et A la matrice.                                     [pic]     - Pour quelles valeurs de a la matrice A est-elle non inversible ? Soient les matrices A et B suivantes :                                             [pic] Existe-t-il des couples (a, b) de nombres réels tels que les matrices A et B soient inverses l'une de l'autre ? Soient les matrices A et B suivantes :                                                

(capacité) lij  xij  d ij (i, j )  E • La matrice correspondant aux contraintes de conservation de flot est dénoté matrice d’incidence sommets-arcs: ligne i ↔ sommet i colonne (i, j) ↔ arc (i, j) ligne i ligne j • La matrice d’incidence sommets-arcs jouit de la propriété d’unimodularité qui fait que l’algorithme du simplexe génère une solution entière pour le problème (FMC) lorsque lij, dij et v sont des entiers. • Exemple de matrice d’incidence pour le réseau 2 1 3 4 1 x12

Exercice 2 1 e 2.1 Calcul de la puissance n`me de A. 1. Comme B= µ 3 −6 1 −2 ¶ et C = µ 2 −6 1 −3 un calcul rapide et sans commentaire particulier donne que : ¶ BC = CB = 0M2 (R) (1) Notez bien que les matrices B et C commutent. 2. _ • Montrons que la proposition Pn :"B n = B" est vraie pour tout entier n non nul. — L’initialisation est bien vérifiée car : B1 = B — Supposons que la proposisiton Pk soit vraie pour tout k ∈ [|1, n|] , n fixé dans N∗

matriciel 1.1 1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Transposée d'une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Matrices particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .