Matrice aléatoire

Exercice 1 Dans cet exercice, n est un entier naturel supérieur ou égal à 2. On désigne par I la matrice unité de Mn(IR). 1) On note tr l’application linéaire qui à toute matrice de Mn(IR) associe sa trace, c’est-à-dire la somme de ses éléments diagonaux. a) Montrer que Im tr = IR. b) En déduire la dimension de Ker tr. c) Établir que Mn(IR) = Ker tr ⊕ Vect(I). 2) Soit f l’application qui, à toute matrice M de Mn(IR) associe f (M) = M + tr(M) I, a) Montrer que f est un endomorphisme de Mn(IR). b) Utiliser

l’analyse factorielle des psychologues Comme la statistique, l’analyse de données « réfrénant son vol mathématique, doit s’honorer d’être une science expérimentale » A la différence de la statistique, qui étudie généralement une ou deux variables aléatoires en se fondant sur des hypothèses (distribution, probabilités) l’analyse de données construit à partir de la réalité observée, des hypothèses, en étudiant simultanément plusieurs variables. Ce qui la différencie donc principalement de la statistique

1.2.1 Espérance de variables aléatoires . . . . . . 1.2.2 Fonction de répartition et quantiles d’une loi 1.2.3 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Principales lois de probabilités . . . . . . . . 1.2.5 Vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 Fonctions caractéristiques . . . . . . . . . . 1.2.7 Convergence de suites de variables aléatoires 1.2.8 Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . 2 Échantillonnage 2.1 L’échantillon aléatoire . . . . . . 2.1.1 Population de

Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle Théorème de Bayes 4 • Variables aléatoires réelles 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Généralités sur les variables aléatoires Fonction de répartition Densité de probabilité Discontinuités d’une fonction de répartition et lois discrètes Loi de probabilité d’une variable aléatoire Y fonction d’une variable aléatoire X Indépendance de deux variables aléatoires Moments d’une variable aléatoire 5 • Lois de probabilité discrètes 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Définition

choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 10 arbres dans le stock. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l’échantillon choisi. a. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. b. Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères ? On arrondira à 10−3

retranche la réponse des répondants de la moyenne des réponses. Précisions qu’il n’est pas souhaitable de réduire. A=[pic]on forme la matrice transposée à AT à partir de A AT =[pic]on multiple AT par A pour obtenir la matrice C= [pic]*[pic]=[pic] [pic]la trace est de 36,4 On diagonalise la matrice C. Pour ce faire, on multiplie la matrice C par une matrice identité. [pic]*[pic]=[pic]=0 Pour calculer le déterminant, on va arrondir les chiffres. [pic] Une méthode simple consiste à

plusieurs variables explicatives dans lequel on fait l'hypothèse que la fonction qui relie les variables explicatives à la variable expliquée est linéaire dans ses paramètres. Formellement, on modèlise la relation entre une variable aléatoire y et un vecteur de variables aléatoires x. De manière générale, le modèle linéaire peut s'écrire de la manière suivante : y désigne la variable expliquée. Le vecteur x désigne l'ensemble des variables explicatives : . u désigne le terme d'erreur. Il est parfois appelé

................................................ Calcul combinatoire des probabilités ........................................................ Conditionnement et indépendance............................................................ Variables aléatoires réelles ................................................................... Généralités. Loi d’une var ........................................................................... Espérance mathématique ..........................................

plusieurs variables aléatoires, c'est-à-dire non déterministes. Plus précisément, un modèle économétrique comprend : * Des variables endogènes, c'est-à-dire des variables dépendantes du modèle qui sont simultanément déterminées par les relations du modèle et qui sont expliquées par celui-ci. * Des variables exogènes, c'est-à-dire indépendantes du modèle. Leurs valeurs sont déterminées à l’extérieur du modèle. On les appelle également « variable explicative ». * Un terme aléatoire : la présence

et que lim un = 1. n 1 Exercice 2 Dans cet exercice, p désigne un réel de ]0, 1[ et on note q = 1 – p. On considère deux variables aléatoires X et Y définies sur le même espace probabilisé ( , A, P ), indépendantes et suivant toutes deux la même loi géométrique de paramètre p. 1) On pose Z = Inf (X, Y) et on admet que Z est une variable aléatoire, elle aussi définie sur l’espace probabilisé ( , A, P ). On rappelle que, pour tout entier naturel k, on a l’égalité : (Z > k) = (X > k)  (Y