Matrice aléatoire

SOUS-ESPACE ENGENDRE PAR UNE FAMILLE DE MATRICES Dans l’espace vectoriel Mn (R) des matrices carrées à coefficients réels, on considère différents sousensembles An de matrices et les sous-espaces V (An ) qu’ils engendrent. La base canonique (Eij )1≤i,j≤n de Mn (R) étant constituée de matrices non inversibles, il est évident que, pour n ≥ 2, le sous-espace engendré par les matrices non inversibles est Mn (R). On rappelle la règle d’opération sur les matrices de la base canonique : Eij Ekℓ = δjk Eiℓ

ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur Introduction : vecteurs, matrices et applications linéaires Opérations sur les vecteurs Vecteur x base (canonique) bi , i=1,n espace vectoriel V sur le corps des réels combinaison linéaire sous espace vectoriel base, dimension  x1      n     x = xi = ∑ xi bi   i =1   x   n  soient ( xi ∈ V )i = 1, k 0     bi =  1     0   k x ∈ Rn ∀x, y ∈ V , ∀λ , µ ∈ R λx + µy ∈ V i =1 k  α i xi α i ∈ R ∑  

GL2 (Z) Diagonalisation : résumé MOSE 1003 COMMENT DIAGONALISER UNE MATRICE 2 × 2 EN 6 ÉTAPES Petits rappels de théorie Étant donnée une matrice 2 × 2 A= 1. A est diagonale si A = a b , c d λ1 0 ; 0 λ2 2. A est diagonalisable s’il existe une matrice inversible P telle que P −1 AP = ∆, où ∆ est diagonale. 0 x 3. v = ,v= est un vecteur propre pour A, de valeur propre λ, si Av = λv. y 0 La recette Considérons par exemple A= 1 2 . 2 1 1. Polynôme caractéristique de A : c’est pA (x) = det(A −

stationnariser une série chronologique ................................................ 7 3. Données en panel ............................................................................................................ 9 3.1 Effets fixes vs. Effets aléatoires.................................................................................. 10 3.2 Corrélation et hétéroscédasticité ................................................................................. 12 Guide d’économétrie appliquée Page

a) - Définition et , notée N ( ; ), On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi normale (ou gaussienne) de paramètres 1 t– si elle admet pour densité la fonction f définie sur IR par f(t) = Si = 0 et – 1 e 2 2 2 . = 1, on dit que X suit la loi normale centrée, réduite. Remarque Les lois normales interviennent très souvent et en particulier lorsque le phénomène étudié est la résultante de nombreuses composantes aléatoires (commerce : fluctuation des ventes, industrie : diamètres de

. . . . . . . Variables aléatoires réelles discrètes finies 2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Espace probabilisé fini . . . . . . . . . 2.1.2 Conditionnement et indépendance . . . 2.1.3 Variables aléatoires finies . . . . . . . . 2.1.4 Lois discrètes usuelles . . . . . . . . . 2.2 Complément : espérance conditionnelle . . . . 2.3 Rappels (suite) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Couples de variables aléatoires finies . 2.3.2 Vecteurs aléatoires finis . . . . . . . . . 2

Ministère des transports). 4 CHAPITRE 1. PROCESSUS STOCHASTIQUES 1.3 Processus stochastiques Le cadre nécessaire à l’ étude des processus stochastiques est celui d’ espace de probabilité et l’ un introduction de la notion de variable aléatoire. Rappelons simplement quelques dé…nitions de base en renvoyant le lecteur à ses cours des premières années, au livre complet, d’ bon niveau, de Neveu ou au un livre d’ Ouvrard, très riche en exemples. Dé…nition 1.1 Un espace de probabilité est un

lorsque h tend vers 0 , o ( h ) est négligeable par rapport à h . EXEMPLES 2u2 - u3 = o ( u ) 1 - cos u = o ( u ) sin u ≠ o ( u ) 1.1.2. Espérances mathématiques conditionnelles Soit { B1 , B2 , . . .} une partition de l’univers et X une variable aléatoire discrète de distribution pn = p ( X = xn ) . alors d’après le théorème des probabilités composées on a p n = ∑ p( X = x n B k ) p( B k ) pour tout n ∈ N k De même si X est continue de densité f ( x ) on obtient  f ( x ) = ∑ f ( x B k ) p( B

. 2 Lois de Gauss bidimensionnelles 2.1 Loi de Gauss bidimensionnelle centrée . . . . . . . . . . . 2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Lois marginales des variables aléatoires X1 et X2 2.2.2 Covariance entre X1 et X2 . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Matrice de covariances du couple (X1 ; X2 ) . . . . 2.3 Loi gaussienne bidimensionnelle centrée et réduite . . . . 2.4 Lois gaussiennes conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Lois gaussiennes bidimensionnelles

Probabilités -1- VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES Exercice 1 (d’après ESSEC 1999 voie T) Une expérience aléatoire consiste à lancer simultanément deux dés équilibrés, et l’on répète indéfiniment cette expérience. On suppose les lancers indépendants. Partie A : Etude du temps d’attente pour obtenir un double six On note X la variable aléatoire indiquant le numéro de l’expérience aléatoire où l’on obtient pour la première fois un double six (c’est-à-dire où les deux dés donnent six). 1)