Jacques Bernoulli

1.4 Equations intrinsèques 6 II.2 relations de bernoulli 6 II.2.1 Première formulation 6 II.2.2 Deuxième formulation 7 II.2.3 Représentation géométrique et interprétation énergétique du théorème de Bernoulli 8 II.3 HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES REELS 8 II.3.1 Rappels sur la viscosité : formule de Newton 8 II.3.2 Equations de Lamé 9 II.3.3 Equations de Navier-Stokes 9 II.3.4 Extension du théorème de Bernoulli au cas des fluides réels 10 II.4 THEOREME DES QUANTITES

2[IE(XY ) − IE(X) IE(Y )]. 11. Une variable de Bernoulli prend deux valeurs a ou b quelconques. les valeurs 0 ou 1. 12. Soit X une VAR d’espérance nulle. Alors X − σ(X) est centrée. une infinité de valeurs. les valeurs -1 ou 1. X − σ(X) est réduite. X est centrée, réduite. σ(X) 13. Une variable aléatoire binomiale est la somme de n VAR de Bernoulli. la somme de n VAR indépendantes de Bernoulli. le produit de n VAR de Bernoulli. la somme de quatre lois uniformes. 14. Soit

DCG UE11 Fiche 1 en Probabilités La loi Binomiale I) Contexte d’application : Soit une épreuve E de Bernoulli, c’est à dire une épreuve à deux issues possibles : S = Succès On répète n p = P (S ) E = Echec Epreuve de Bernoulli : de Probabilité de Probabilité q = P (E ) = 1 − p fois cette même épreuve et ceci de manière indépendante. On s'intéresse alors à la variable aléatoire X représentant le nombre de réalisations de l’événement S (succès) au cours de ces

directe  du  théorème  de  Bernoulli.  Outre  la  mesure  au  moyen d'un bac de pesée (cf. manipulation) le débit est déterminé a l'aide d'un tube de Venturi, d'un  diaphragme et d'un rotamètre. Les pertes de charges associées à chaque appareil peuvent être déduites  et comparées. Les pertes de charges résultant d'un diffuseur à grand angle et d'un coude à 90° peuvent  également être évaluées.      II ‐ RAPPELS THEORIQUES   Considérons l'équation de Bernoulli:  v2 p + ρ gh + ρ = Cste

p( 74,4 < L < 75,6) = normalFrep( 74,4 , 75,6 , 75, 0,25 ) = 0,9836..= 0,984 à 10 -3 près 2. On doit avoir h= 2 car c’est un résultat du cours ( p(  – 2 < X <  + 2) = 0,95) donc h = 2x0,25 = 0,5 Partie B . 1. Il s’agit d’une expérience de Bernoulli (succès p = 0,02 échec q= 0,98) répétée n = 20 fois dans les mêmes conditions et de façon indépendante, donc le nombre X de succès suit une loi binomiale B(n,p) = B(20 , 0,02) 2. On a alors p(X= 0) = binomFdp( n, p, k) = binomFdp(20 , 0,02 , 0)

la section du col (2) a une surface S2. En supposant qu’il n’y a aucune perte de charge le long du Venturi et que les vitesses et les hauteurs piézométriques sont constantes dans chaque section de la conduite ; on peut appliquer l’équation de Bernoulli entre les sections (1), et (2) où ρ est masse volumique de l’air: Avec l’équation de continuité entre ces deux points : et comme h1=h2 On aura donc : La valeur du débit est : II- Description de l’appareil L’appareil

8 Sachant que la boule tirée est noire, il y a une chance sur neuf d'avoir obtenu 1 avec le dé. 2. a. On constate que l'on répète une épreuve de Bernoulli ( en considérant comme succès : une partie gagnée) 5 fois de suite de façon indépendante et identique ( on remet les boules après chaque partie ). Il s'agit donc d'un schéma de æ 3ö Bernoulli et comme la variable aléatoire X dénombre les succès, X suit une loi Binomiale B ç 5; ÷ . è 8ø 3 5 -3 æ 5ö 3 3 La probabilité de gagner exactement

, P   ( Ω ),p) est un espace probabilisé fini et X une variable aléatoire définie sur  Ω     On appelle fonction de répartition de X , l’application définie de IR dans  [ 0,1]  par  f : x → p( X ≤ x )     Loi binomiale ou Schéma de Bernoulli  Un schéma de Bernoulli se résume par :  • La répétition d’une même épreuve n fois de suite et d’une façon indépendante ; chaque épreuve  n’a que  deux issues contraires : succès ( notée S) avec p(S) = p ou échec ( notée E) p( E ) =1‐p  • La loi de probabil

Introduction Un fluide qui est susceptible de s’écouler est caractérise par ses propres paramètres qui sont très utiles dans les différentes applications où ce fluide intervient. Pour étudier est définir ces paramètres nous appliquant le théorème de Bernoulli. Nous effectuons ce TP pour démontrer la validité de ce théorème. Travail demandé I. II. Un schéma complet de l’installation Les mesures P1= ρ eau g ∆H3+ Patm = P2=P1-ρeau g ∆H1 √ V2 ( ) Qth = A2 V2 Qréel = Pt1=P1+ 2 air V1 Pt2=P2+

expé2.c. On note 4 10 . rience. Exprimer la probabilité P(Z = 4) à l’aide de 4 10 = 210, donner une valeur approchée de P(Z = 4) à 10−1 près. 2.d. En admettant que 4 1reS3 1 ÄÓ âÒ ÓäÑ Ð II Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli Définition Ô Ö ÙâÚ ÖâÒ Ó Ù Ð Ð On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p ∈ ]0; 1[, toute expérience aléatoire admettant exactement deux issues : – l’une appelée « succès » notée S, dont la probabilité d’apparition est p ; p – l’autre appelée « échec » notée S