Inverse

f (a) x−a admet une limite finie lorsque x tend vers a. Cette limite est appel´e nombre d´riv´ de f en a et e e e est not´e f (a) : e f (x) − f (a) f (a) = lim . x→a x−a √ 1 1 , valeur absolue, x sin x et x2 sin x . Exemples. xn , la fonction inverse, Par un changement de variable, on peut ´galement ´crire que si f est d´rivable en a, alors e e e f (a) = lim – On note ε(h) = f (a+h)−f (a) h f (a + h) − f (a) . h→0 h h→0 − f (a). Alors lim ε(h) = 0. En exprimant f en fonction de ε, on

on suit le contraire de la priorité des opérations. ◦ Fonctions homographiques 1. Le graphe de la fonction inverse. f : ℝ ℝ ; x  f  x= 1 x Porte le nom d'hyperbole. Les axes du repère séparent les branches de l'hyperbole. 1 Les axes portent le nom d'asymptotes: x = hozizontale; y = verticale de y= x L'origine du repère est le centre de l'hyperbole. La fonction inverse est paire. 2. Définition: On appelle fonction homographique toute fonction axb cx d a , b , c∈ℝ et c∈ℝ0 et

utilité est la même que sa réciproque x², sauf que celle-ci évolue dans un lapse de temps très long, donc l’évolution est très lente. Caractéristiques : Domf=R+, Imf=R-, f est croissante et elle n’est ni paire, ni impaire. d) Fonctions inverse. La fonction inverse est une fonction assez complexe puisqu’elle est composée de deux parties. Dans cette partie je vais parler d’elle moins en profondeur car j’y reviendrais par la suite. Son expression analytique est la suivante :fx=1x La fonction ne sera

normale (vue en coupe) et le diagramme de mécanisme au foyer correspondant Les flèches indiquent les blocs qui montent et qui descendent b) les failles inverses Elles sont appelées ainsi parce que la déformation entraîne un raccourcissement des terrrains initiaux. Elles résultent de mouvements de rapprochement (convergence). faille inverse (vue en coupe) et le diagramme au foyer correspondant Les flèches indiquent les blocs qui montent et qui descendent c) les failles en décrochementLes

cube d´finie sur R par f : x → x3 . e e f est une fonction d´rivable sur R qui admet pour fonction d´riv´e f : x → e e e 3x2 . 2 2.6 La d´riv´e de la fonction inverse e e 1 . x f est une fonction d´rivable sur R qui admet pour fonction d´riv´e f : x → e e e 1 − 2. x Soit f la fonction r´elle inverse d´finie sur R par f : x → e e 2.7 La d´riv´e de la fonction racine carr´e e e e √ Soit f la fonction r´elle racine carr´e d´finie sur R+ par f : x → x. e e e

division P2: Si a < b, et k >0, alors ka < kb et a/k < b/k P3: Si a < b, et k kb et a/k > b/k Addition membre à membre P4: Si a < b et c < d, alors a+ c < b+d Multiplication membre à membre (nb positifs) P5: Si 0 < a < b et 0 < c < d, alors 0< ac < bd Inverse : (entre nombres strictement positifs) P6: Si 0 < a < b, alors 1/a > 1/b www.logamaths.fr Page 4/12 1ère S – Généralités sur les fonctions © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy 4. Sens de variation d'une fonction Définition

Fonctions usuelles Opérations sur les fonctions Opérations et limites fonction inverse exemple : distance focale f d’une lentille 1 association de deux lentilles : f = f1 + f1 1 2 Propriétés de la fonction inverse : 1 • la fonction x → x a pour dom. de déf. R∗ . Elle est continue sur R−∗ et elle est continue sur R+∗ ; elle n’est pas continue sur R car elle n’est pas définie en 0. • sym. : la fnct inverse est impaire • variations : strict. décroissante sur R−∗ , strict. décroissante

carré est petit. La fonction est décroissante. Le sens s’inverse pour les valeurs positives de x. Le tableau de variation, fort simple, se présente ainsi : Quant à la courbe (réalisation avec le logiciel Sine qua non)… La fonction inverse, f(x) = 1 / x, également au programme de seconde, présente une « valeur interdite » : 0. C’est une fonction toujours décroissante. NB : voir aussi la page exercice sur les liens entre courbe et fonction (niveau : seconde). Au-delà de la

base sur des lectures graphiques. 3. Limite à l’infini : 4. Limites des fonctions usuelles : La fonction carrée La fonction cube Les fonctions puissances La fonction racine carrée (x a x n ) BTS CGO_Limites 1/5 La fonction inverse Les fonctions (x a 1 ) xn La fonction ln La fonction (x a e x ) 5. Limites et opérations : Dans ce paragraphe, f et g désignent deux fonctions définies sur un même ensemble D . a représente soit un réel, soit +∞ , soit −∞ . l et

donné dans l’énoncé, il faut chercher le domaine (ou ensemble) de définition de la fonction à étudier. Ce peut être ℝ , un intervalle, ou une réunion d’intervalles. 1) Les fonctions polynômes, sinus et cosinus sont définies sur ℝ . 2) La fonction inverse est définie sur ]−∞;0[ ∪ ]0; +∞[ . Si l’expression de la fonction présente un dénominateur, celui-ci doit être NON NUL. En conséquence, les fonctions rationnelles sont définies pour toutes les valeurs qui n’annulent pas leur dénominateur. π  π 