Intervalle

LES INTERVALLES Définition : Un intervalle est la distance qui sépare deux notes ayant des positions différentes sur la portée musicale. Exemple : 1) INTERVALLE MÉLODIQUE : L'intervalle mélodique fait entendre les deux sons successivement. • Intervalle mélodique ascendant : L'intervalle mélodique ascendant est celui dont la note inférieure est écrite la première. Exemple : • Intervalle mélodique descendant : L'intervalle mélodique descendant est celui dont la note supérieure est écrite

L n-++oo x· iliSiêii;21.1é'§i;eWi§i = ':"", 1 si 0 E supp(tp). •••••• C. ,."":..,,,,,,,,,, -, = l b j'(x)cp(x) dx. (9.7) Comme cp appartient à V(]a, b[), son support est contenu dans un intervalle fermé b[; l'intégrale dans (9.7) est restreinte à cet intervalle, et, comme ip est continument dérivable sur [a, ,8], on peut intégrer par parties et écrire [a, ,8JCJa, < I',» >= [J(x)cp(x)J! -1(3 J(x)cp/(x)dx. Mais cp(a) = cp(,8) = 0, et cp' E V(]a, b[) avec

Rn est une fonction continue, avec Ω ouvert (non vide) de Rn et I intervalle ouvert (peut-ˆtre infini) de R. e Une solution de l’´quation (1) est un couple (J, γ), o` J est un sous-intervalle e u non vide et non r´duit ` un point de I et γ : J → Ω est une application d´rivable e a e qui v´rifie e γ(t) = f (t, γ(t)) ˙ pour tout t dans J. Une solution est maximale si elle n’est pas la restriction d’une solution d´finie sur un intervalle strictement plus grand. e Les r´sultats principaux de la th´orie portent

de f est le plus grand sous-ensemble de R (au sens de l’inclusion) tel que pour tout x ∈ D, l’expression f (x) ait un sens. Exemple. √ f (x) = x D = R+ . x f (x) = (x−1)(x+2) D = R \ {−2, 1}. 4. Lorsque nous considérons une fonction définie sur un intervalle I, il est sous-entendu que I est non vide et non réduit à un seul élément. (I ￿=]a, a[ et I ￿= [a, a] avec a ∈ R). Notations On note f : D → R une fonction définie sur D. f (D) = {f (x), x ∈ D} l’image de D par f . f −1 {0} = {x ∈ D, f (x) = 0} le

d’une Fonction. I. FONCTION D’UNE VARIABLE A. Extremum sur un intervalle fermé et borné. Ce n’est pas une recherche locale mais sur un intervalle réel I = [a;b] pour des fonctions continues. 1.Théorème de WEIERSTRASS ” Si une fonction f de R dans R est continue sur un intervalle fermé et borné [a;b] alors f atteint un maximum et un minimum sur cet intervalle ” 2. Méthode pratique de recherche d’un extremum sur un intervalle fermé et borné ( pour une fonction f dérivable sur [a;b] = I )

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I, sauf en un réel a de I. Si la fonction f admet une limite finie  lorsque x tend vers a, alors f est prolongeable par continuité en a f  x  et la fonction g définie sur I par g(x)     si x  a, si x  a. le prolongement par continuité de f en a. Définition  Une fonction est continue sur un intervalle ouvert I si elle est continue en tout réel de I.  Une fonction est continue sur un intervalle  a , b  si elle est continue sur

Fonctions continues I désigne ici un intervalle infini de R (c'est-à-dire ni vide ni réduit à un singleton) D désigne une partie non vide de R. Généralités A) Rappel de définition Soit [pic] Soit [pic]. [pic] • On dit que f est continue (sur D) lorsque f est continue en tout point [pic] de D, c'est-à-dire : [pic] B) Opération sur les fonctions continues 1) Restriction Définition, proposition : Soit

a) Définition C’est une gamme musical construite exclusivement sur des intervalles de quintes pures, qui dans l’antiquité était le plus utilisé après l’octave. La méthode de superposition des quintes nous permet de construire une gamme chromatique, qui correspond à la manière la plus ancienne d’accord des instruments à sons fixes. Elle sera d’ailleurs utilisé jusqu’à la fin du moyen âge. Pour construire un intervalle d’une quinte pure à partir d’une note de base, c’est à dire en prenant les

x→a x→a u(x), et si : lim u(x) = +∞, alors lim f (x) = +∞ (Énoncé analogue pour −∞) Démonstration : Dans le cas où a = +∞ (c’est le cas qui figure au programme, la démonstration des autres cas ne pourra vous être demandée.) On considère un intervalle ouvert quelconque I contenant l. La fonction u a pour limite l en +∞ donc il existe un réel A tel que pour tout x ∈]A; +∞[ tous les nombres u(x) sont dans I. De même, pour la fonction v : On note B le réel tel que pour tout x ∈]B; +∞[ on a : v(x)

a) Définition • Une fonction f tend vers le réel L quand x tend vers +∞ si, pour tout intervalle ouvert centré en L, il existe un réel x0 tel que pour tous les x supérieurs à x0, f(x) appartient à cet intervalle. • Une fonction f tend vers le réel L quand x tend vers −∞ si, pour tout intervalle ouvert centré en L, il existe un réel x0 tel que pour tous les x inférieurs à x0, f(x) appartient à cet intervalle. b) Notations : • limx→+∞f(x)=L ou lim+∞f=L • limx→−∞f(x)=L ou lim−∞f=L |c