´ ´ EQUATIONS DIFFERENTIELLES
OLIVIER DEBARRE

` Table des matieres 1. Le th´or`me de Cauchy–Lipschitz e e 2. D´montrer le th´or`me de Cauchy–Lipschitz e e e 3. Appliquer le th´or`me de Cauchy–Lipschitz e e ´ 4. Equations diff´rentielles autonomes e 5. Stabilit´ des solutions e R´f´rences ee 1 3 8 11 14 17

´ ` 1. Le theoreme de Cauchy–Lipschitz Une ´quation diff´rentielle (du premier ordre) s’´crit e e e (1) o` u f : I × Ω → Rn est une fonction continue, avec Ω ouvert (non vide) de Rn et I intervalle ouvert (peut-ˆtre infini) de R. e Une solution de l’´quation (1) est un couple (J, γ), o` J est un sous-intervalle e u non vide et non r´duit ` un point de I et γ : J → Ω est une application d´rivable e a e qui v´rifie e γ(t) = f (t, γ(t)) ˙ pour tout t dans J. Une solution est maximale si elle n’est pas la restriction d’une solution d´finie sur un intervalle strictement plus grand. e Les r´sultats principaux de la th´orie portent sur l’existence et l’unicit´ des e e e solutions. On va chercher des solutions locales de l’´quation (1). Remarquons qu’une solue tion v´rifiant γ(t0 ) = x0 ne peut s’´loigner trop vite de x0 . En effet, si le cylindre e e C = [t0 − η, t0 + η] × B(x0 , r) x = f (t, x) ˙

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OLIVIER DEBARRE

est contenu dans I × Ω et que M = sup
(t,x)∈C

f (t, x)

toute solution γ : J → Ω de (1) reste dans B(x0 , r) sur le sous-intervalle de I = [t0 − η , t0 + η ] , r avec η = min(η, M ),

sur lequel elle est d´finie, ` savoir I ∩ J (c’est une cons´quence de l’in´galit´ des e a e e e accroissements finis). On dit que (2) C = I × B(x0 , r) f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ k x1 − x2

est un cylindre de s´curit´. On dit que f est k-lipschitzienne en x sur ce cylindre si e e (3)

pour tout t dans I et tous x1 et x2 dans B(x0 , r). C’est le cas par exemple (pour r un r´el k convenable) si f est de classe C 1 et que r et min(η, M ) sont finis. e Th´or`me 1 (Cauchy–Lipschitz). Si f est k-lipschitzienne en x sur un cylindre e e de s´curit´ comme