Mathématiques appliquées aux S.E.S. Licence 2ème année - Joël GADEN

Chapitre 4

Optimisation Libre d’une Fonction.

I. FONCTION D’UNE VARIABLE A. Extremum sur un intervalle fermé et borné.
Ce n’est pas une recherche locale mais sur un intervalle réel I = [a;b] pour des fonctions continues.

1.Théorème de WEIERSTRASS
” Si une fonction f de R dans R est continue sur un intervalle fermé et borné [a;b] alors f atteint un maximum et un minimum sur cet intervalle ”

2. Méthode pratique de recherche d’un extremum sur un intervalle fermé et borné
( pour une fonction f dérivable sur [a;b] = I ) 1ère étape: on détermine les points candidats de f sur l’intérieur ]a;b[ de I à partir de la relation f (x) = 0. 2ème étape: on calcule les valeurs aux bornes a et b par f et aussi aux points stationnaires. 3ème étape: on compare ces valeurs. La plus grande donne le max de f sur I et la plus petite donne le min de f sur I.

3. Exemple f(x) = 1 x 3 − 1 x 2 − 2x + 5 pour x de [−4; +3] 3 2

1ère étape: f est de classe C ∞ sur R car c’est une fonction polynôme. f est donc continue et dérivable sur ] − 4 ; + 3[ f (x) = 0  x 2 − x − 2 = 0  (x + 1)(x − 2) = 0  x = −1 ∈] − 4 ; + 3[ ou x = +2 ∈] − 4 ; + 3[ Il existe donc deux points candidats x 1 = −1 ou x 2 = +2 2ème étape: f(−4) = −49/3 ; f(+3) = 3, 5 ; f(−1) = 6, 166 ; f(+2) = 1, 666 3ème étape: La plus petite image f(−4) = −49/3 donne le min -49/3 de f en -4 sur I. La plus grande image f(−1) = 6, 166 donne le max 6,166 de f en -1 sur I.

B. Fonctions convexes et fonctions concaves
1. Théorème
* Si f " (x) > 0 sur I alors f est strictement convexe sur I. * Si f " (x) < 0 sur I alors f est strictement concave sur I.

2. Exemple
* f(x) = 1 x 3 − 1 x 2 − 2x + 5 pour x de R. 3 2 f est de classe C ∞ sur R car c’est une fonction polynôme. * f (x) = x 2 − x − 2 * f (x) = 2x − 1 s’annule pour x = 1/2 * f (x) < 0 pour x < 1/2 * f (x) > 0 pour x > 1/2 Alors: ∗ f est concave strictement sur ] − ∞; 1/2[

∗ f est