Équations de Lagrange

réponse, dans un manuscrit datant de 1685, Robert Hooke propose une méthode de calcul des orbites qu'il applique avec succès au calcul du mouvement d'un pendule conique. L'algorithme de calcul de Hooke est un algorithme symplectique d'intégration des équations du mouvement. Chimiste, il s’intéresse aux premières théories de la combustion. Il désigna sous le nom de « nitre aérien » le principe de la combustion et de la respiration. De ce fait, il doit être considéré, avec John Mayow, comme l’un des précurseurs

K . Soit u : P 2 E 7?! ('1(P ); : : :; 'n(P )) 2 K n . (a) Montrer que u est un isomorphisme. En deduire ('1; : : :; 'n ) est une base de E . (b) Determiner la base preduale de la base : ('1; : : : ; 'n). Retrouver le polyn^me d'interpolation de Lagrange. o (c) Soit (1; X; : : :; X n?1) la base canonique de E, soit ("1; : : :; "n ) la base canonique de K n . Soit V (a1; : : : ; an) la matrice de Vandermonde associee aux coe cients (a1; : : : ; an) de nie par : le terme d'indice (i; j ) est (ai)j

(1 − β)u(w − P − L + IL) + (1 − π)α 0u (w − P) (CI) Cette contrainte d’incitation signifie que l’espérance d’utilité de l’assuré s’il fraude n’est jamais supérieure à son espérance d’utilité s’il dit la vérité. Nous avons bien défini toutes les équations permettant de mettre en place le programme ( ) d’optimisation. Le contrat d’assurance optimal Pˆ, ˆIL, ˆIM, Sˆ1, Sˆ2, Sˆ3 maximise l’espérance d’utilité de l’assuré : Max EU S/C Acceptation du contrat d’assurance par l’assuré : EU ≥ U Contrainte

constituer « l’analyse des modernes », l’algèbre, à titre de discipline autonome, en tant que purement intellectuelle. Tel est le sens et telle est la portée de la théorie des équations, chef-d’œuvre de la mathématique cartésienne, qui est exposée au troisième livre de la Géométrie de 1637. Descartes y considère les deux équations x = 2 et x = 3 ramenées à la forme canonique, d’une simplicité saisissante. x — 2 = 0 x — 3 = 0 qu’il a l’audace de multiplier l’une par l’autre de façon à obtenir

quelconque. Ecrire les fore e mules de Taylor avec reste de Lagrange ` l’ordre deux entre x et x + h puis entre x et a x − h. b. En d´duire : e ∀x ∈ R, ∀h > 0 : |f (x)| ≤ c. En d´duire que |f | est born´e par e e 2M0 M2 2. Soit f ∈ C 3 (R) telle que |f | est born´e par un r´el M0 et |f (3) | born´e par un r´el M3 . e e e e ´ a. Soit x un r´el quelconque et h un r´el strictement positif quelconque. Ecrire les fore e mules de Taylor avec reste de Lagrange ` l’ordre trois entre x et x + h puis entre x et a x

3 Cas où le résidu E suit une loi normale .......................... 394 16.3 Tests dans le modèle linéaire ....................................... 395 16.3.1 Analyse de variance de la régression ............................ 395 16.3.2 Test d'une équation de régression spécifiée ....................... 396 16.3.3 Test de linéarité de la régression ............................... 397 16.3.4 Contrôle des hypothèses du modèle linéaire ............. . ....... 397 16.4 Applications ...................

le lieu géométrique de toutes les combinaisons de consommation (C1 , C2) qui donnent le même niveau d’utilité. C2 U3 U1 U2 C1 d) L’optimum Maximiser la fonction d’utilité sous la contrainte de richesse revient à maximiser l’équation C ⎞ ⎛ de Lagrange suivante : ℑ = U(C 1 , C 2 ) + λ ⎜ W − C1 − 2 ⎟ . 1+ r ⎠ ⎝ ℑ est maximum lorsque : Cours de Macroéconomie - 13 - KHEMAKHEM Jamel ∂U ⎫ (1) ⎫⎪ =λ ⎪ ∂C 1 ∂ℑ ⎪ ⎪ ⎪ ∂U λ ∂ℑ ∂U λ (2)⎪⎬ (1) = ∂C1 = = − =0 ⎬⇔ ∂ℑ ∂C 2 1 + r ∂C 2 ∂C 2 1 + r ⎪ ( 2) ⎪ ⎪

1200 Figure IV - 5 : Evolution du SDCCH en fonction du TCH de 01/03/05 à 06/04/05 On remarque que l’évolution du SDCCH en fonction du TCH est presque linéaire. • • Type d’équation Calcul des paramètres Cette courbe peut être modélisée par une équation de la forme y = ax + b On adopte la méthode de maximum de vraisemblance pour calculer les coefficients a et b de l’équation. On a alors a = covariance (SDCCH, TCH)/ Variance (TCH) b = moyenne (SDCCH)- a * moyenne (TCH) L’équation ainsi définie est

d’estimation (MCO et MV) e 3 D´composition de la variance et qualit´ de la r´gression e e e 4 Les tests d’hypoth`se e e e Chapitre 3 : Le mod`le de r´gression multiple 1 Hypoth`ses sur le mod`le de r´gression multiple e e e 2 L’estimation par MCO 3 Equation d’analyse de la variance et qualit´ de l’ajustement e 4 Les tests d’hypoth`se e 5 Variables indicatrices 6 D’autres tests 7 Quelques probl`mes rencontr´s dans la r´gression : tests des hypoth`ses du mod`le e e e e e e e e e e Chapitre 4 : Mod`le

l’aire du rectangle AMNP est : X*Y=-2/3*X2+2*X=1 -2/3*X2+2*X-1=0 Remarquons que c’est un polynôme de second degré dont les solutions ne sont pas des valeurs exactes. On est appelé à trouver la valeur approchée de X qui est solution de cette équation. Pour déterminer la valeur approchée de X, on peut utiliser la fonction suivante : FN VALEUR_DE_X (Pas : Réel) : Réel Pas : représente la valeur du pas. Cette valeur donne la précision sur la valeur approchée de X. L’algorithme de la fonction