Équation d'état

fonction f. ✓ Calculer f ’(x). ✓ Etudier le signe de f ’(x). ✓ En déduire les variations de f et compléter le tableau de variations avec les limites et les éventuelles images. 5. Déterminer le nombre de solutions d’une équation de la forme f(x) = k. (théorème des valeurs intermédiaires) 6. Savoir déterminer à l’aide de la calculatrice un encadrement des solutions. 7. Déterminer l’équation d’une tangente à la courbe. 8. Savoir construire la courbe.

00011 – APE 803 Sommaire Dynamique du solide 6 Dynamique des systèmes électriques 8 Dynamique des fluides 10 Equation mecanique : 13 Graphique de l’equation mecanique : 13 Courbe theorique d’une equation mecanique 14 Equation electrique : 15 Graphique de l’equation electrique : 15 Equation fluide : 16 Graphique de l’equation fluide : 16 Equation totale de la pompe : 17 Graphique total de la pompe : 18 1. Contexte Un fabricant de pompe a demandé au bureau

b + . x−2 Soit f la fonction définie sur ]2; +∞[ par f (x) = EXERCICE 3 EXERCICE 2 d2 D C Dans le repère ci-contre, on a tracé les droites d1 d’équation y = −0,025x + 7,4 et d2 passant par les points A(30; 0) et B(60; 4). 1. Déterminer une équation de la droite d2 . 2. Calculer les coordonnées du point C intersection des deux droites. 3. Caractériser par un système d’inéquations, l’ensemble des points M(x; y) situés à l’intérieur du polygone OACD frontières comprises. d1 B 1 O EXERCICE

tend vers donc lnx tend vers Remarque: Le graphe de la fonction ln admet pour asymptote la droite 5) Graphe de la fonction logarithme népérien: Le plan est muni d’un repère (O;[pic]) a) Déterminer les équations des tangentes au graphe de la fonction logarithme népérien, aux points d’abscisses: 1 et e , puis construire ces tangentes (on remarquera que la tangente au point d’abscisse e passe par l’origine du repère) b) Etudier

du (7) 5. Calcul du produit scalaire à l’aide des coordonnées Démonstration : [pic] dans le repère orthonormal [pic] [pic] [pic] Théorème : Soit [pic] un repère orthonormal Si [pic] alors [pic] 6. Applications a. Equation d’une droite Exemple : Quelle est la droite D orthogonale au vecteur [pic] passant par [pic]. On suppose le repère orthonormal. [pic] ssi [pic] ssi [pic] [pic] donc [pic] Exemple : Quelle est la droite D passant par [pic] et de

Applications : linéarisation, transformation de somme en produit, calcul de cos(nx), sin(nx), k=0 n cos(kx) et k=0 sin(kx). C) Racines des nombres complexes 1 - Racines n-ièmes de l’unité, propriétés élémentaires de ces racines, équation z n = a. 2 - Équation du second degré dans C, relations entre coefficients et racines. 3. Techniques de calcul des primitives 0 - Dérivation des fonctions à valeurs complexes cas de t → e αt et de t → e ϕ(t) . 1- Rappel du théorème fondamentale. Fonctions de

paraissent plus long que d’autres): r r r x1 = cos ϑ x0 + sin ϑ y0 = 0 cos ϑ − sin ϑ 0 − sin ϑ cos ϑ 0 r r r y1 = − sin ϑ x0 + cos ϑ y0 = 0 r r z1 = z0 = 0 0 0 1 Lycée La Fayette CPGE ATS – Equations différentielles pour les sciences Page 1 ecazade@aol.com Les équations différentielles en sciences 1. L’EQUATION DIFFERENTIELLE LINEAIRE DU PREMIER ORDRE A COEFFICIENTS CONSTANTS : 1.1. Quelques exemples d’utilisation de l’équation différentielle linéaire du premier ordre :

charpoly(A, x), expand; Renvoie le polynôme caractéristique de A. – determinant(A); Renvoie le déterminant de A. Résolution de f(x)=c sur [ a, b] – find_root(f(x)=c,x,a,b) : Renvoie une valeur approchée des solutions de f(x)=c sur [a,b]. Les équations différentielles – ode2('diff(y,x)+y=0,y,x); : Renvoie la forme générale de la solution de l'équation diff y'(x)+y(x)=0. – ic1(% ,x=a,y=b); : Renvoie la solution précédente avec comme condition initiale y(a)=b AIDE MEMOIRE Lycée Stendhal de

det(A) puisque det(AA-1) = det(A) × det(A-1) = det(I) = 1 * Si A est orthogonale, det(A) = ±1 puisque det(AAT) = [det(A)]2 = det(I) = 1 III. Application aux systèmes d'équations linéaires III.A. Formulation matricielle Un système de n équations linéaires à n inconnues est de la forme : a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1  a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2  ....................................................  an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn où les aij sont les coefficients du système

Terminale S Contrôle de mathématiques Mardi 22 novembre 2011 Exercice 1 Equation différentielle (6 points) Partie A : ROC On utilisera le résultat suivant : les solutions de l’équation différentielle y′ = ay où a ∈ R sont les fonctions g définies sur R par g(x) = Keax où K ∈ R. Le but de cette partie est de déterminer les solutions de l’équation différentielle (E) y = ay + b où a ∈ R∗ et b ∈ R. ′ b 1) Démontrer que la fonction f0 définie sur R par f0 (x) = − est une solution de (E). a 2) Soit