Égalité de Parseval

· , n de ces in´egalit´es, on obtient l’encadrement suivant de Sn , n+1 n f (x)dx ≤ Sn ≤ 1 + (1.5.1) 1 f (x)dx. 1 8 Un calcul simple nous donne n n f (x)dx = 1 1   1 1 −1 1 α−1 1−α n dx = α  x log n si α = 1, si α = 1 d’o` u ∞ n f (x)dx = lim n→∞ 1 1 1 dx = xα +∞ si α ≤ 1 1 si α > 1. α−1 Donc, si α ≤ 1, de la premi`ere inegalit´e de (1.5.1), on d´eduit facilement que lim Sn = +∞, la s´erie de Riemann est alors divergente. Si α > 1, de la seconde in´egalit´e n→∞ de (1.5.1)

s'inquiètent pour le développement psychologique de l'enfant, qui pourrait être perturbé par la « complexité » de sa filiation, qui distinguerait la mère génétique, la mère porteuse, et éventuellement la mère légale. À ce sujet, Geneviève Delaisi de Parseval, psychanalyste spécialiste de bioéthique, estime que cette complexité est en réalité une « chance » pour l'enfant[réf. souhaitée]. En France, en mars 2009, l'Académie nationale de médecine avait averti d'un « risque de dérive » s'il y avait à l'avenir

superposition linéaire d’ondes planes de la forme : Ψ(r, t) = 1 2π dk f (k) exp[i(k · r − ωt)] (1.9) où le facteur (1/2π)3 s’expliquera au second chapitre. La théorie de la transformée de Fourier, que vous verrez plus tard, permet de dire que (théorème de Parseval) : dr |Ψ(r, t)|2 = 1 2π 3 dk |f (k)|2 (1.10) Ainsi, si la fonction f (k) est normalisée à (2π)3 , alors le paquet d’onde correspondant aura la bonne normalisation. Pour étudier ce paquet d’onde, nous allons supposer que la fonction f (k)

nouveaux nombres : les nombres complexes. Définition et notation 1.1.1 (L’ensemble C des nombres complexes) Un nombre complexe est un nombre qui s’écrit : x + iy, avec x et y dans R. L’ensemble de tous les nombres complexes est noté C. Définition 1.1.2 (Égalité de nombres complexes) Pour tout x, tout y, tout x et tout y dans R : x + iy = x + iy si et seulement si x = x et y = y . Règles de calcul On a dans C les règles de calcul suivantes, quels que soient les nombres réels x, y, x et y : (addition) ; (x

µ({x; f (x) ≥ M }) = 0. On note alors, f ∞ = inf{M > 0|µ({x; f (x) ≥ M }) = 0}. L∞ est aussi un espace de Banach. Deux in´egalit´es importantes permettent de comparer les normes des fonctions. 22 Th´ eor` eme 28 (In´ egalit´ e de Cauchy-Schwartz). Soient f, g ∈ L2 (E, µ), alors f gdµ ≤ |f |2 dµ |g|2 dµ, autrement dit, |< f, g >| ≤ f 2 g 2. Th´ eor` eme 29 (In´ egalit´ e de H¨ older). Soient p, q ≥ 1 tels que p1 + 1q = 1, alors, ∀f ∈ Lp , ∀g ∈ Lq , f g 1 ≤ f p g q. En particulier, si µ est

+1 θ 2 1 sin N +1 sin2 1 θ . 2 dθ 6. En utilisant la positivité du noyau de Fejér et 0 KN (θ) 2π = 1 on montre aisément que gN tend vers f au sens L2 . On en déduit que le système trigonométrique est complet dans L2 et donc l’égalité de Bessel-Parseval et le fait que les Sj convergent aussi au sens L2 vers f . 2π 7. Digressions : (a) de toute suite L2 -convergente on peut extraire une sous-suite ponctuellement presque partout convergente. Mais en fait (L. Carleson) on a convergence ponctuelle

(et non pas DC) de façon à ne pas prendre en compte la composante statique. Couplage DC Couplage AC [pic] Facteur de crête Rapport entre la valeur de crête absolue et la valeur efficace : [pic] Energie d’un signal : [pic] Egalité de PARSEVAL-PLANCHEREL (Energie du signal) [pic] Puissance d’un signal : [pic] 7 Actionneurs et excitateurs en vibrations Marteau de choc http://www.bksv.fr/ Pot vibrant http://www.bksv.fr/ Patch Piézoélectrique http://www.pi-usa

x ∈ H et xn = x, en , n ∈ N∗ . (i) +∞ n=1 P 5.5 P 5.6 P 5.7 P 5.8 Théorème de la projection P 5.9 Orthogonal P 5.10 P 5.11 Somme directe orthogonale (i) Inégalité de Bessel (ii) Cas d’égalité dans Bessel (iii) Identité de Parseval |xn |2 ≤ x 2 2 (ii) [x ∈ M] ⇔ [ x = +∞ n=1 |xn |2 ] P 5.12 Caractérisation des bases orthonormales Structure de 2 P 5.13 P 5.14 Structure hilbertienne de L2 ([−π, +π]) P 5.15 Théorème de Gram-Schmidt (iii)

de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.4.1 Détermination des coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 94 4.4.2 Série de Fourier des fonctions périodiques de période �= 2π . . . . 95 4.4.3 Égalité de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.4.4 Série de Fourier sous forme complexe . . . . . . . . . . . . . . . . 96 35 Transformation de Fourier 100 5.1 Propriétés de la transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . .

solution d’une équation diff. . 40 42 29. Séries de Fourier 29.1. Coefficients de Fourier . . . . . . . . . 42 29.2. Cas où f est 2π-périodique . . . . . . 42 29.3. Convergence . . . . . . . . . . . . . . . 42 29.4. Produit scalaire et formule de Parseval 43 43 43 30. Σ = Σ . . . 43 . . . 46 46 46 47 47 47 48 48 48 48 49 49 49 50 50 51 53 53 53 53 54 54 55 55 55 55 56 56 57 57 57 57 57 57 59 59 59 60 60 60 60 61 61 61 62 62 62 62 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .