Égalité de Parseval

Cette égalité a lieu en tout point x où f est continue Corollaire Si f est continue, nous avons l’égalité ∀x ∈ R n, f (x) = ∫ Rn e2iπtx f̂ (t)dt 31/58Transformée de Fourier Transformée de Fourier dans L1(Rn) Dérivée de la transformée de Fourier Peut on inverser la transformée de fourier ? Oui, dans certains cas.. Théorème d’inversion de Fourier Si f et f̂ sont dans L1(Rn) alors f (x) = F̄(f̂ )(x) avec F̄ est la transformée de fourier conjuguée. Et on a f (x) = ∫ Rn e2iπtx f̂ (t)dt Cette égalité a lieu

etriques 1.1 Distances D´ efinition 1.1 Un espace m´ etrique est un ensemble E muni d’une foction d : E × E → R+ v´erifiant pour tout triplet (x, y, z) ∈ E 3 : a) d(x, y) = 0 ⇔ x = y b) d(x, y) = d(y, x) (sym´etrie) c) d(x, y) d(x, y) + d(y, z) (in´egalit´e triangulaire) Une telle fonction est appel´ee distance sur E. Exemple : Tout espace vectoriel norm´ e (E, − ) est un espace m´etrique (E, d) pour la distance d(x, y) = x − y . Toute partie A d’un espace m´etrique (E, dE ) est un espace m´etrique

signal p´eriodique r´eel x(t) est `a bande limit´ee s’il existe n 0 tel que Xn est nul pour tout |n| > n0 . On montre qu’un signal x(t) p´eriodique `a bande limit´ee ne peut s’annuler que sur un ensemble au plus d´enombrable de points. Formule de Parseval Soit x(t) et y(t) deux signaux p´eriodiques de mˆeme p´eriode T et soit z(t) le produit de x(t) par y ∗ (t). On note respectivement Xn , Yn et Zn les suites des coefficients de Fourier de x(t), y(t) et z(t). Un calcul simple montre que : ∗ Xk Yk−n

l’élévation au carré (algébrique), qui n’a de sens que pour une grandeur numérique comme la longueur, correspond à la construction d’un carré (géométrique) sur chaque côté du triangle. Certaines démonstrations du théorème s’appuient d’ailleurs sur une égalité d’aires entre le carré construit sur l’hypoténuse et la réunion des carrés construits sur les deux autres côtés. En nommant les sommets du triangle, le théorème peut se reformuler dans l’implication suivante : Théorème de Pythagore — Si un triangle  est

∞ k=1 ∞ ℓ k=1 π/ℓ −ℓ f (t) cos(α(t − x))dt dα. ∞ 0 ∞ −∞ f (t) cos(α(t − x))dt dα. f (t) cos(α(t − x))dt dα 62 4.2 L’intégrale de F ourier Cette dernière expression est appelée intégrale de F ourier. Cette égalité a lieu en tout point x où f est continue. Si f possède des discontinuités, on a la formule valable pour tout x : 1 π ∞ 0 ∞ −∞ f (t) cos(α(t − x))dt dα = f (x + 0) + f (x − 0) 2 Posons maintenant φ(α) = paire et par suite On a finalement :

Transformations de Fourier (TF) des distributions 3 Les signaux certains ou déterministes 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . 3.2 Définitions-Exemples . . . . . . . 3.3 Espace de Hilbert des signaux . . 3.4 Bases continues . . . . . . . . . . 3.5 Egalité de Parseval-Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

exp(−j2πf t0 )X(f ) TF [x(t) exp(j2πf0 t)] = X(f − f0 ) Similitude 1 TF [x(at)] = X |a| f a Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 5/82 Propriétés Produits de Convolution TF [x(t) ∗ y(t)] = X(f )Y (f ) TF [x(t)y(t)] = X(f ) ∗ Y (f ) Égalite de Parseval x(t)y ∗ (t)dt = R R X(f )Y ∗ (f )df Conjugaison TF [x∗ (t)] = X ∗ (−f ) Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 6/82 Distributions Localisation x(t)δ(t − t0 ) = x(t0 )δ(t − t0 ) Produit de Convolution x(t) ∗ δ(t − t0 ) =

Dolph-Chebychev . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Problèmes de visualisation de la TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Propriétés de la TFD et convolution circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Théorème de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2 Théorème de la convolution discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.3 Théorème du retard circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Transformée de Fourier

dit on peut trouver un entier N non négatif f (t) = 0. Notons qu’une fonction décroissante à l’infini est forcément à borné tel que lim |t|→∞ t N croissance lente. La plupart des fonctions utilisées en physique sont des fonctions tempérées. • Égalité presque partout pp On dit que deux fonctions f et g sont égales presque partout et on note f = g si f (t) = g(t) ∀t sauf sur un ensemble dénombrable de valeurs de t (ensemble de mesure nulle). Par exemple la dérivée de la fonction de Heaviside

.................................................................................22 2.2.5 Convolution .............................................................................................................................22 2.2.6 Egalité de Parseval....................................................................................................................22 2.3 Quelques transformées de Fourier usuelles .......................................................... 22 2.3.1 Fonction