Égalité de Parseval

(b) Calculons le carré de la valeur efficace de : car  ¾ ¾ étant paire, ¾ l’est aussi. ¾ ¾ ½ ´¾Ô · ½µ ½ ´¾Ô · ½µ ¾ ½ ·¾ Ø ¾ Ø ½ ¢¾ ·¾ ¼ ·½ Ò ¾ ؾ Ø ¾ ¾ Ø¿ ¾ ¿ ¼ ¢½ ¾ ¿ ¿ Avec la formule de Parseval ¾ on obtient : d’où d’où · ½ ¾ ½ ¼¾ · ¾ ½ ·½ Ô ½ ¾ Ò ¾ ·½ ½ ·½ Ô ¾ ¼ ´¾Ô · ½µ¾ ¾ ½ ½ ¿ Ô ¼    ½ ½ ¢ ½¾ ¼ LPI 99/2000 examcor.tex 3/ 7 Exercice 2 Partie I 1. La fonction est constante

morceaux sur IR, discontinue aux points d'abscisses n∈Z Le théorème de Dirichlet permet donc d'affirmer que la série de Fourier de F converge sur IR vers la fonction réglée de F. 1 Donc: si x∉Z alors S(f )(x) = F(x) sinon S(f )(x) = . Z 2 L'égalité de Parseval s'écrit: d'où 1 1 1 1 1 1 + = ⌠ t2.dt = . 3 4 2 n∑1 n2π2 1 ⌡0 ≥ d-) 1 1 1 1 1 et 2× ∑ 2= – = 2π n ≥ 1 n 3 4 12 ∑ n2 = 6 n≥1 1 π2 Corrigé des exercices sur les séries de Fourier --*-- Page 1 2-) Déterminer le développement

h sur une période est : H2 = 1 T r +T r [h(t )]2 dt . r désignant un nombre réel quelconque. Si les coefficients de Fourier de la fonction h sont a0 , an et b n alors : 1 T r +T r 2 [h(t )]2 dt = a0 + +∞ n=1 2 2 an + bn 2 formule de Parseval a. Calculer F 2 , carré de la valeur efficace de la fonction f sur une période. b. On définit sur R la fonction g par : g (t ) = a0 + a1 cos(t ) + b 1 sin t + a2 cos(2t ) + b 2 sin(2t ). 2 3 cos(t ) pour tout nombre réel t . π c. Calculer G 2 ,

Si f est impaire, alors an=0 ∀ n∈ℕ cosn =−1n ,  sin  n=0 et  einx=−1n La série de Fourier d'une fonction est unique. Formule alternative :  f  t=∑ c n e −∞ ∞ in t 1 , avec  cn= ∫ f t e−i n t dt 2 0 2 Théorème de Parseval :  ∞ 1 1 ∫ ∣f  t ²∣dt= 2 a 02 ∑ a n2bn2  0 n=1 2 Emilie Cravero Avril 2009 Transformations mathématiques Révisions Exercice 1 :  2 Calculer la série de Fourier de  f  x =x ∀ x∈]− ; ] ∞ En déduire la valeur de ∑ n2 n=1

(0) = +1 2 X 1 = est classique. 2 n 6 n=1 2 =6 =2 , U (0) = 2 =6 remarque : avec I:3:1 on peut calculer U (N ) pour N 2 N et U (N Z 1=2) pour N 2 Z 4. La fonction g étant continue par morceaux on peut appliquer la formule de Parseval : a0 (g)2 X 1 an (g)2 + bn (g)2 = + 2 n=1 ici +1 g(t)2 dt et +1 +1 16 X 1 a0 (g)2 X + an (g)2 + bn (g)2 = 2 2 (2k 1)4 n=1 k=1 1 Z g(t)2 dt = 2 Z 2 0 2 t dt = 2 Z 2 0 4 t + t2 dt = 2

x∈]0; π [ 2 n Deuxième partie : Démonstration du théorème de convergence normale Pour une fonction f continue par morceaux de R dans C et de période 2π , on note pour tout n∈Z: 2π 1 cn (f ) = f (t)e−int dt. 2π 0 8. Rappeler le théorème de Parseval (avec les coecients cn (f )) pour une fonction continue par morceaux de R dans C et de période 2π . Dans le cas où la fonction f est de plus continue sur R, justier que si pour tout n∈ Z, cn (f ) = 0 alors f est la fonction nulle. Ce résultat reste-t-il

g a` l’intervalle ]−3π, 3π]. 2. Calculer pour tout n de N , la valeur de an . 2 3. Montrer que pour tout n ∈ N∗ , bn = (−1)n−1 . n 4. Pour quelles valeurs de x, a-t-on l’´egalit´e S(x) = g(x) ? On pr´ecisera le th´eor`eme utilis´e, et notamment ses hypoth`eses. +∞ 5. En appliquant avec soin l’´egalit´e de Parseval, en d´eduire que k=1 1 π2 . = k2 6 II. R´ egularit´ e de la fonction f 1. 2. 3. 4. 5. Donner le d´eveloppement limit´e de x −→ ln(1 − x) au voisinage de 0

convergent vers f pour la norme || ||2. En outre, on dispose des formules suivantes (Parseval) où an et bn sont supposés réels : ∑ cn n = –∞ ∞ 2 1 ⌠ =  2π ⌡ π π f(t) 2 dt = –π a02 1 ∞ + ∑ (an2 + bn2) 4 2 n=1 n = –∞ ∞ ∞ ⌠ –– cn ∑ dn–– = 1  f(t)g(t) dt = a04a0' + 1 ∑ (anan' + bnbn') ⌡ 2 2π –π n=1 où dn, an' et bn' sont les coefficients de Fourier de la fonction g. Les formules de Parseval se résument également sous la forme : || ^ || = || f || et = f f^ 2 2

    + cos(2nx) − 2n sin(2nx)  =  1 + eπ S4 (x) =    2   π 4n2 − 1  n=1 si x = 0 ou x = π. 2 eπ 1 + eπ 2 • −2π • 1 • • π • 2π • 3π −π F. 3.7 – graphe de la série S4 (x) 3.2.2 Égalité de Parseval Théorème 3.2.3 Égalité de Parseval : Soit f une fonction développable en série de F ourier 2π et de période T = > 0, alors on a pour α réel quelconque : ω a2 0 2 cn = ∞ + n=1 (a2 + b2 ) = n n ω π α+2π/ω f 2 (x)dx = 2 α n∈Z |cn |2 an −

 ∞  π   2(e −1)  1 1   cos(2nx) − 2n sin(2nx)  =  S4 (x) = π  2 +   π 4n2 − 1 1+e n=1 si x = 0 ou x = π. 2 eπ • • −2π −π • 1 + eπ 2 • • • π 2π 3π 1 F. 3.7 – graphe de la série S4 (x) 3.2.2 Égalité de Parseval Théorème 3.2.3 Égalité de Parseval : Soit f une fonction développable en série de F ourier 2π > 0, alors on a pour α réel quelconque : et de période T = ω a20 2 cn = 53 ∞ (a2n + n=1 + b2n ) ω = π α+2π/ω f 2 (x)dx = 2 α |cn |2 n∈Z an + ibn an − ibn