Dérivée extérieure

Dérivation I- Nombre dérivé, tangente On note une fonction numérique définie sur un intervalle de ℝ a est un réel de . 1) Définition : Soit ℎ un nombre réel non nul tel que + ℎ ∈ . • On appelle taux d’accroissement de entre et + ℎ le rapport ℎ = • • On dit que la fonction est dérivable en lorsque le taux d’accroissement ℎ devient aussi proche que l’on veut d’un nombre réel lorsque ℎ tend vers 0 Le nombre est appelé nombre dérivé de en a et on note : = = lim ↦ ℎ 2) Détermination

la fonction de la variable x définie sur l'ensemble des réels par : f ( x )  x 5  10 x 4  25 x 3  64 . 1°) a) Déterminez la dérivée première de f sur IR. b) Déterminez l’élasticité de f par rapport à x en x1 = 1 et interprétez le résultat. 2°) a) Vérifiez que le point x2 = 0 satisfait à la condition nécessaire d’extremum local pour f. b) En utilisant les dérivées successives de f en x2, étudiez l’existence d’un extremum local pour f en ce point. page 2 

étudie son signe (c'est-à-dire : on cherche tous les abscisses x pour lesquels la dérivée est positive). Ceci permet, sans avoir tracé la courbe, de pouvoir dresser le tableau de variations. Puis on complète le tableau avec les valeurs des éventuels extremums et enfin, on trace la courbe. AUTRE EXEMPLE On considère la fonction g : * ®  1 x a +x x * 1. Calculer g'(x) pour x Î  . 2. Étudier le signe de la dérivée g'. 3. Dresser le tableau de variations de la fonction g. 4. Tracer la représentation

équation différentielle du premier ordre est une expression qui décrit une relation entre une fonction à une variable et sa dérivée première : y(t) ˙ = f (y(t)) Exemple : y(t) ˙ = 2y(t) Cette équation impose pour être résolue de trouver une fonction y(t) dont la dérivée première est égale à deux fois cette fonction. Une solution de cette équation est y(t) = e2t puisque sa dérivée y(t) ˙ est 2e2t = 2y(t). Remarquons, dans ce cas, que pour n’importe quelle constante k, y(t) = ke2t est aussi une solution

TF06_transitoire_Laplace.xmcd TF06 - Transitoire - Exercice Régime transitoire - transformée de Laplace Un solide semi-infini subit sur la face (x=0) une élévation de température proportionnelle au temps (T = k t). La température initiale est 0°C. Déterminer le profil de température par la méthode de la transformée de Laplace. Quelle est la température à 10 cm à l’intérieur après un temps de 2 mn ? On donne : k = 0,5°C/s et α = 0,4 cm²/s. Pour faire ce calcul on rappelle que si on connaît l’original

Séquence 6 Fonctions dérivées Sommaire Pré-requis Définition – Dérivées des fonctions usuelles Dérivation et opérations algébriques Applications de la dérivation Synthèse de la séquence Exercices d’approfondissement Séquence 6 – MA11 1 © Cned - Académie en ligne 1 Pré-requis A Fonctions de référence ᕡ Fonction « carré » f : x x2 À savoir Dans le plan muni d’un repère, la fonction « carré » est définie par f ( x ) = x 2 où x est un nombre réel. ̈ La ̈ f
FTU
EÏmOJF
TVS
‫ޒ‬. fonction « carré »

Compositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.4 Calcul de limites dans les cas de formes indéterminées . II.5 Croissance comparée de l’exponentielle, du logarithme et III Dérivation III.1 Nombre dérivé en un point III.2 Fonction dérivée . . . . . . III.3 Dérivées successives . . . . III.4 Opérations . . . . . . . . . III.5 Équation de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

solutions de cette équation différentielle sont les fonctions du type f(x) = ke5x où k est un réel. On sait de plus que f(0) = ke5 × 0 = k = 3. La seule fonction solution est donc la fonction f définie par f(x) = 3e5x. 6 C Il est possible de calculer la dérivée dans le cas général avant de remplacer les deux paramètres a et b par leur valeur. On a f’(x) = – 2a e–2x. Ainsi, pour tout x réel, f’(x) + 2f(x) = – 2a e–2x + 2a e–2x + b = b. Pour toute valeur de a, la fonction est solution à condition que b = 3

Chapitre 4 Chapitre 4. Nombre dérivé et dérivées Activités et applications Application 2 1. Nombre dérivé en a d’une fonction f 2 Activité T 1 – 0,5 0,5 2,5 3 3,5 4 4,5 Abscisse a du point –2 –1 f’(a) = mi –4 –2 1 2 1 2 4 f(x) = x2. f’(x) = 2x. 2. On a a = 2 f’(a). 3. Les points de coordonnées (a ; f’(a)) appartiennent à la droite d’équation y = 2x. 1 Application 1 0,5 f(x) = D ᏼ 2 Activité 1. 1,5 C 1,5 2. Fonctions dérivées A –1 1 – 0,5 Application 1 – 1,5

Chapitre 2 : COMPLÉMENT SUR LES FONCTIONS DÉRIVATIONS ET CONTINUITÉ I. Dérivation 1) Rappels : définitions Soit C une courbe Soit A un point fixé de C. La tangente T à C en A, si elle existe, est la position limite d'une courbe = (AM) lorsque M tend vers A. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit Cf la courbe représentative de f dans un repère orthogonal. Soit a un point appartenant à I. Si C admet un point d'abscisse à une tangente non parallèle à l'axe des ordonnées, f est dite