Convexité

Quelle hypoth`ese nous permet de supposer que pour une quantit´e donn´ee du bien X, Martin pr´ef`ere toujours consommer plus de bien Y et que pour une quantit´e donn´ee de bien Y, Martin pr´ef`ere toujours consommer plus de bien X? 2) V´erifier la convexit´e des pr´ef´erences du consommateur. 3) Les prix des biens X et Y sont px = 6 et py = 3. Consid´erer d’abord le point auquel le consommateur consomme Qx = 80 et Qy = 360 (point A). Montrer que Martin pourrait atteindre un niveau plus ´elev´e d’utilit´e

réciproque : au bout d’un moment, l’effet revenu gagne sur l’effet prix. Les hypothèses sous-jacentes à ces courbes : . Les hypothèses précitées du modèle traditionnel, dans le cadre d’une économie de production à plusieurs facteurs (nécessaire pour la convexité des courbes de demande excédentaires). . Le bien 1, à l’autarcie, est relativement moins cher dans l’économie domestique (1/Pah<1/Paf). L’économie domestique a un avantage comparatif dans la production du bien 1. Spécialisation à l’échange de ces

et seulement si : ∀ x ∈ I, ∀ y ∈ I, x < z < y ⇒ z ∈ I Une partie vérifiant cette propriété est dite convexe. Une autre formulation est : ∀ x ∈ I, ∀ y ∈ I, x < y ⇒ [x, y] ⊂ I Démonstration : Il est évident qu'un intervalle vérifie la propriété de convexité. Montrons la réciproque. Soit I convexe. Montrons qu'il est de la forme (*). Si I est minoré, posons a = Inf I sinon, a = –∞. Si I est majoré, posons b = Sup I sinon, b = +∞. On a donc I inclus dans [a, b]. Soit z tel que a < z < b. Dans tous les

élastique w exprimée en déformation w(ε) dont dérive la loi de comportement élastique linéaire : w(ε) =  C ε ε ,  ijkl kl ij σij = w(ε) ⇒ σij = Cijkl εkl εij (.)  . Comportement élastique des matériaux anisotropes La convexité de l’énergie de déformation w(ε) impose la relation Cijkl = Cklij . Le tenseur des modules Cijkl est donc composé de  constantes élastiques indépendantes pour un matériau anisotrope. On adopte la notation matricielle à deux indices pour écrire

espace de Banach à valeurs réelles . . . . 7.2 Extrema liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Fonctions d’un espace de dimension finie à valeurs réelles 7.2.2 Fonctions d’un espace de Banach à valeurs réelles . . . . 7.3 Convexité et minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chapitre 1 Notion de topologie dans Rn Objectifs : Le but de ce cours est de généraliser la notion de dérivée d’une fonction d’une variable réelle à partir de la théorie du calcul

application p : L 8(0.,'3) que: 1. (Invariance par translation) Pour tout LE L 8 (0., '3) et f. E IR, nous avons p (L + e) = p(L) - e. 2. (Monotonicité) Si X S Y, alors p(Y) S p(X). Nous dirons que celte mesure est convexe si : 3. (Convexité) Pour tout  E [0, 1] et X, Y E L8( 0., '3) nous avons p(ÂX+(l-Â)Y)SÂp(X)+(l-Â)p(Y). ---> IR telle lO Nous dirons qu'elle est cohérente si : 4. (Positivité homogène) Pour tout À, 20 et XE Ls (D.,:3) nous avons p(À,X) = À,p(X). 5.

n’est pas la simple agrégations des utilités individuelles et ils établissent que si cinq conditions ne sont pas satisfaites alors il est impossible d’obtenir que la préférence collective soit la somme des préférences individuelles. (4) La convexité des courbes d'indifférence tient à la décroissance des utilités marginales des biens et services. La courbe d'indifférence collective qui doit être recherchée est celle qui est située au point de tangence avec la fonction de Pareto (W3). W = u

dans une zone déprimée (philtrum ou région sous- mentonnière, creux axillaire) ou au niveau des bras peuvent évoquer une origine intentionnelle. A contrario, des lésions d’origine accidentelle sont préférentiellement localisées au niveau de la convexité de la face, du front, du menton, de la face postérieure des avant-bras et des coudes. Parfois, la forme des lésions permet d’identifier les contours d’un objet ayant été utilisé pour commettre les violences (ceinture, martinet, cuillère, mains

est concave lorsqu’elle tourne vers le bas et une courbe est convexe lorsqu’elle tourne vers le haut. On a différents paniers de biens. Plu la courbe est élevé, plus le niveau d’U est élevé. Panier D : Mélange entre panier A et Panier B La convexité reflète le fait que l’agent préfère un panier avec des mélanges/ diversité. C E’ E’’ E C* U z z* T Au point E, Optimum la pente de la courbe d’indifférence

toutes les valeurs multiples de 10. 2 Application : Dans la figure a., l’équation f (x) = 4 a deux solutions. l Dans la figure b., l’équation f (x) = 4 n’a pas de solution. Dans la figure c., l’équation f (x) = 4 admet une solution. 2 La convexité 1 a. A(1 ; 1) et M(3 ; 9). l b. Un équation réduite de la droite (AM) est donnée par y = 4x – 3. c. Les points du segment [AM] sont les points de coordonnées (x ; y) tels que y = 4x – 3 (appartenance à la droite (AM)) et 1 ⩽ x ⩽ 3 (entre les