Convergence

I Rayon de convergence 1/9 Table des matières I Rayon de convergence 1 I.1 Série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2 Convergence d’une série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.3 Calcul du rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.4 d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 II Propriétés de la somme, cas réel 4 II.1 Intégration . . . . . . . . .

Bessel-Parseval et le fait que les Sj convergent aussi au sens L2 vers f . 2π 7. Digressions : (a) de toute suite L2 -convergente on peut extraire une sous-suite ponctuellement presque partout convergente. Mais en fait (L. Carleson) on a convergence ponctuelle p.p. de Sj vers f sans avoir à passer à une sous-suite (on n’en donne pas la démonstration dans le cours). (b) continuité L2 des translations. Énoncé analogue pour L1 . (c) si f est continue les gN convergent uniformément vers f . Énoncé

de Maastricht daté 7 février 1992. Le traité de Maastricht précise aussi les conditions du futur passage à la monnaie unique. Afin de permettre une certaine harmonie nécessaire à l’union monétaire, les européens décident de divers critères de convergence conditionnant pour chaque pays membre la possibilité d’intégrer l’union monétaire. Ces conditions sont les suivantes : • le taux d’inflation ne doit pas excéder de plus de 2% celui des trois pays membres ayant les plus faibles taux d’inflation

la monnaie unique. C’est donc l'ensemble géographique constitué par les 17 pays de l'Union européenne qui ont adopté l'euro comme monnaie nationale. Plusieurs critères sont nécessaires pour rejoindre la zone euro : il s'agit des 5 critères de convergence du traité de Maastricht. * Le premier de ces critères qui est le plus significatif est celui de la stabilité des prix : le taux d'inflation national ne doit pas dépasser le taux d'inflation moyen des trois pays les plus performants de plus

e e e Eλ : xy + (1 − x)y − λy = 0. o` la fonction y est une fonction inconnue deux fois continˆment d´rivable de la variable x et u u e λ un r´el donn´. e e 1. Il est admis qu’il existe une fonction fλ , somme d’une s´rie enti`re de rayon de convergence e e R, strictement positif, prenant la valeur 1 en 0, (fλ (0) = 1), solution dans l’intervalle ] − R, R[ de l’´quation diff´rentielle Eλ . Cette fonction est d´finie par la relation : e e e ∞ fλ (x) = 1 + n=1 an xn . (a) Montrer que la

efforts quand la conjoncture était bonne. Le cas de la Grèce, qui a maquillé ses comptes publics, a aussi prouvé que les dispositifs de surveillance n’étaient pas assez efficaces. Enfin, lors de la crise financière, il n'y a pas eu de convergence entre les politiques budgétaires des pays de la zone euro : certains ont fait le choix de la rigueur et d'autres pas. Pour accroître la +rdination budgétaire, il faudrait par exemple que les Ministres des Finances nationaux consultent leurs pairs

déclenchement de déficit public excessif (DPE). * Le volet répressif est déclenché, lorsqu’un EM ne se conforme pas aux objectifs assignés par la Commission, qui peut alors engager des sanctions financières contre lui. Le respect des critères de convergence reste aujourd’hui très insuffisant Aujourd’hui, seuls deux pays de la zone euro (Luxembourg et Finlande) respectent le critère de déficit public. Trois EM de la zone euro (Grèce, Espagne, Italie) ont un déficit supérieur à 10 points de PIB.

est difficilement atteignable. B. Mais les États membres ont moins de marge de manœuvre. La BCE étant indépendante, la politique monétaire n’est plus de leur ressort. La politique budgétaire ne dépend plus entièrement d’eux (critères de convergence, PSC, etc.). II. Quelle politique pour l’Europe ? A. La politique monétaire et l’objectif de stabilité des prix. L’objectif assigné à la BCE est la stabilité des prix. Par cette politique, elle peut influer sur le niveau de l’emploi. De

de leur politique sur le taux de change et sont ainsi moins dépendants de cette contrainte extérieure. Cependant, les gouvernements ont du faire des efforts pour pouvoir adopter la monnaie unique de par la nécessité de respecter les critères de convergence qui imposaient des limites en termes de déficit public, de niveau de la dette ou encore de taux d’inflation. Aujourd’hui, les gouvernements restent encadrés dans l’exercice de leur politique budgétaire par les critères issus du Pacte de Stabilité

budgétaire est donc de facto déjà expansive ; Le troisième est l’entrée de la France dans l'Union économique et monétaire européenne (signature du Traité sur l'Union européenne, dit Traité de Maastricht), et qui impose aux États membres des critères de convergence pour éviter les comportements abusifs de passager clandestin.