Chapitre 2 : pgcd, ppcm. th´eor`emes de gauss et bezout

20 d´ecembre 2012

Correction contrôle de mathématiques du mardi 18 décembre 2012
Exercice 1
ROC

3 points

1) cf cours
2) Soit D = pgcd(a, b) et d = pgcd(a − b, b)
• D divise a et b donc divise a − b. D divise donc a − b et a. D

d (1)

• d divise a − b et b donc divise (a − b) + b = a. d divise donc a et b. d

D (2)

De (1) et (2) on a : D = d.

Exercice 2
Application du cours

5 points

1) Par l’algorithme d’Euclide, on a :
1386 = 546 × 2 + 294
546 = 294 × 1 + 252
294 = 252 × 1 + 42
252 = 42 × 6
Donc pgcd(1386, 546) = 42 et donc ppcm(1386, 546) =

1386 × 546
= 18 018
42

2) Par l’algorithme d’Euclide, on a :
2013 = 734 × 2 + 545
734 = 545 × 1 + 189
545 = 189 × 2 + 167
189 = 167 × 1 + 22
167 = 22 × 7 + 13
22 = 13 × 1 + 9
13 = 9 × 1 + 4
9=4×2+1
Donc pgcd(2013, 734) = 1. Les nombres 2013 et 734 sont donc premiers entre eux. 3) On a : 5(14n + 3) + (−14)(5n + 1) = 70n + 15 − 70n − 14 = 1
Il existe un couple (u, v) tel que : u(14n + 3) + v(5n + 1) = 1, donc d’après le théorème de Bezout, les nombres (14 + 3) et (5n + 1) sont premiers entre eux.
87 = 14 × 6 + 3 et 31 = 5 × 6 + 1 donc les nombres 87 et 31 sont respectivement de la forme (14n + 3) et (5n + 1). On a donc pgcd(87, 31) = 1

Paul Milan

1

Terminale S sp´e

contrˆole de math´ematiques

4) Soit d = pgcd(a, b) et m = ppcm(a, b). on a donc les relations : a = da′

et

b = db′

avec pgcd(a′ , b′ ) = 1

et m = da′ b′

on a alors : 6a′ b′ = 102 soit a′ b′ = 17
La seule décomposition de 17 est 1 × 17. Comme a < b, on a : a′ = 1 et b′ = 17.
On en déduit alors que : a = 6 × 1 = 6 et b = 17 × 6 = 102

Exercice 3
BAC

4 points

1) On a : 269 = 13 × 18 + 5 et 239 = 17 × 14 + 1. Donc 239 vérifie le système.
2) N ≡ 5 (mod 13) donc il existe y ∈ Z tel que N = 5 + 13y
N ≡ 1 (mod 17) donc il existe x ∈ Z tel que N = 1 + 17x
On a donc : N = 1 + 17x = 5 + 13y
3) Résolution de : 17x − 13y = 4 (1)
• (1,1) est solution de (1) car : 17 × 1 + 13 × 1 = 4
• soit (x, y) une