4.6 Intégration numérique
L’intégration numérique d’une fonction est basée principa lement sur l’intégration d’un polynôme d’interpolation
P
n
:
I
=
Z b a f ( x ) dx =
Z
b a P n ( x ) dx +
Z
b a E n ( x ) dx, (7) où E n désigne l’erreur d’interpolation. L’intégration numériq ue sera néces- saire si f ( x ) n’est connue qu’en certains points discrets ou si la primiti ve R f ( x ) dx n’est pas connue explicitement. Selon le théorème de l’erre ur d’interpolation de §4, si x 0
, x
1
, . . . , x n sont n + 1 nombres distincts dans l’intervalle
[
a, b
]
et f ∈
C
( n +1)
[
a, b
]
, alors,
∀
x
∈
[ a, b
]
,
∃
ξ
(
x
)
∈
(
a, b
)
tel que f ( x ) =
P
n
(
x
) + f ( n +1)
(
ξ
(
x
))
( n + 1)!
Π
n k =0
(
x
−
x k )
.
On peut écrire
P
n
(
x
) = n X i =0 f ( x i
)
L n,i ( x )
,
où
L
n,i
(
x
) =
Π
n j =0
,j
6
=
i
(
x
−
x j )
Π
n j =0
,j
6
=
i
(
x i − x j
)
, est le i-ième polynôme de Lagrange. Donc, de (7) on a
I
=
Z
b a f
(
x
)
dx
=
n
X
i
=0
α i f
(
x i ) + b E n ,
(8)
où α i
=
Z b a
L
n,i
(
x
)
dx, et b
E
n
=
Z b a
E
n
(
x
) =
Z
b a f
(
n
+1)
( ξ ( x ))
(
n
+ 1)!
Π
n k =0
(
x
−
x k ) dx. L’approximation du premier terme du droite de (8) est appelé e, en général, une formule de quadrature
. En faisant varier la valeur de n on obtiendra les formules de