Nous avons dans un premier temps modélisé “Bernard” par un simple module comme sur le schéma suivant :

On précise que l’angle θ doit rester faible sinon “Bernard” aura beaucoup de difficulté à rester stable donc sin(θ)=θ.
Ce qui implique que Y=X+Lθ soit VY=VX+aVθ, cette formule nous emmène au schéma bloc suivant :

Or on sait que la dynamique du chariot est supérieure à celle du pendule, c’est à dire qu’il faut que le pendule ait un temps de réaction plus important que celui du chariot. Les effets du chariot seront donc négligeables par rapport à ceux du pendule.

On aura la fonction de transfert suivante : avec
On en déduit que le système ne respecte pas le critère de Routh ce qui implique qu’il est instable naturellement. Donc il faut, ajouter un terme à cette fonction de transfert pour le stabiliser.
On sait queor l’amortissement est nul donc.
Après modélisation du système on obtient le graphe suivant qui nous permettra de calculer notre pulsation :

On obtient aussi le graphe de Black-Nichols suivant :

On retrouve bien le caractère instable du système car il passe par le point -1, afin d’éviter qu’il passe par ce point nous rajoutons un terme à avance de phase à notre fonction de transfert : .
Faisons un essai en prenant les valeurs suivantes :
= 6.41 s-1

On obtient ainsi le graphe suivant où l’on peut voir effectivement que le lieu de Black ne passe plus par le point -1 :

Dans notre modélisation sur « Bernard », nous n’avons pas été jusqu’à l’avance de phase mais nous nous sommes arrêtés à une commande PID avec comme valeur :
= 14.95 s-1