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1.1

Compléments sur R
La droite réelle

La droite réelle R =] 1; +1[ est considérée comme munie de: 1 ) son addition "+ "et sa multiplication " " usuelles lui donnant une structure de corps commutatif ( et d’ espace vectoriel sur lui - même ) 2 ) sa relation d’ ordre total " " usuelle 3 ) sa norme x 7! jxj := max(x; x), pour laquelle elle est complète. 1.1.1 Proposition

Si O est un ouvert non vide de R, alors il existe une suite (Ik :=]ck ; dk [)k2N d’ intervalles ouverts de R , qui sont disjoints deux à deux, telle que O = [k2N Ik . Preuve: Soit O un intervalle ouvert non vide de R. a) Soit x 2 O. Posons ax := inffz 2 R = z x; ]z; x] Og et bx := fy 2 R = y x; [x; y[ Og.

Alors ]ax ; x] O et [x; bx [ O. En e¤et: Comme O est ouvert, il existe r > 0 tel que ]x r; x+r[ O, donc ax < x < bx . 8w 2]ax ; x]; 9y 2]ax ; w[ tel que ]y; x] O, donc w 2 O, puisque w 2]y; x[. Ainsi ]ax ; x] O. Le raisonnement pour [x; bx [ est analogue Par conséquent Jx :=]ax ; bx [=]ax ; x] [ [x; bx [ O. Montrons que ax 2 O et bx 2 O. = = Supposons au contraire que bx 2 O: x 2 O; bx 2 O et O est ouvert, donc il existe r > 0 tel que ]x r; x + r[ O, et il existe 2]0; bx x[ tel que ]bx ; bx + [ O. Comme bx < bx ; 9y 2]bx ; bx [ tel que [x; y[ O. Par conséquent [x; bx + [= [x; y[[]bx ; bx + [ O.

Mais cela contredit la dé…nition de bx . Donc bx 2 O. On montre de manière analogue que = ax 2 O. = b) 8x 2 O, on a Jx =]ax ; bx [ O, donc O = [x2O Jx . Montrons que les Jx sont deux à deux disjoints ou égaux. Supposons qu’ existe x; y 2 O tels que Jx \ Jy 6= ;. il Soit c 2 Jx \ Jy . On a ax < c < by et ay < c < bx . Donc ax < c < by et ay < c < bx . ay 2 O ) ay 2]ax ; bx [) ay = = ax 2 O ) ax 2]ay ; by [) ax = = 1 ax , car ay < bx . ay , car by > ax . Donc ax = ay .

Un raisonnement analogue montre que bx = by . Donc Jx = Jy . Par conséquent, il existe un sous - ensemble E de O tel que O = [x2E Jx , et 8x; y 2 E tels que x 6= y on a Jx \ Jy = ;. Pour tout x 2 E, …xons un élément qx de