TS − Devoir n°7 − DNS x3 + 4 x2 − 3 Soit la fonction f définie sur R par f(x) = . x2 + 1
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Soit cf sa courbe représentative dans un repère (O ; i , j ) : unités 1 cm. 1) Calculer les limites de f en + ∞ et en – ∞. cx + d 2) Déterminer les réels a, b, c, d, tels que f(x) = ax + b + 2 . Que pouvezx +1 vous en conclure pour la droite (d) d’équation y = x + 4 et la courbe cf ? 3) Etudier le signe de ε(x) = f(x) − (x + 4) suivant les valeurs de x. En déduire les positions relatives de cf et de (d). 4) Soit la droite (∆) d’équation y = x + 3. Etudier le signe de d(x) = f(x) – (x + 3) suivant les valeurs de x. En déduire les positions relatives de cf et de (∆). x( x3 + 3 x + 14) 5) a) Calculer f '( x) et vérifier que f '( x) = . ( x 2 + 1) 2 b) Etudier les variations de la fonction g définie sur R par g(x) = x3 + 3 x + 14 . c) Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une seule solution α dans R et donner la valeur de cette solution. d) En déduire le tableau des variations de f. 6) Tracer avec soin la courbe cf et la droite (d) dans (O ; i , j ) 7) Soit (t) la tangente à cf au point M0 d’abscisse x0 = 3. Donner une équation de (t) et tracer cette droite dans le repère précédent. 8) La droite (t) recoupe cf en un point M1. Evaluer les coordonnées de M1 et vérifier par le calcul que M1 est effectivement un point commun à (t) et cf.
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