Feuille d’exercices 20 - Taylor - Développements limités - MPSI 1

1 x+1 Exercice 1 en +∞ à une précision de 2 . 2. x x Soit f une fonction définie sur R, de classe C 2 telle que f et f sont bornées. Soit M0 = supR |f | et P2 = supR |f |. √ √ 1 3. x + x − x en +∞ à une précision de . M0 M2 x 1. Montrer que ∀a > 0, |f (0)| ≤ + a. Exercice 7 a 2 2 M0 M2 Soit f définie sur R par f (x) = xex est bijective et former le DL en 2. Montrer que ∀a > 0, ∀x ∈ R, |f (x)| ≤ + a. 0 à l’ordre 5 de f −1 . a 2 √ Exercice 8 3. Montrer que f est bornée sur R et que supR |f | ≤ 2M0 M2 . Exercice 2 1 Soit f définie par f (x) = x3 sin si x = 0 et 0 sinon. x 1. Montrer que f admet un DL à l’ordre 2 en zéro que l’on déterminera. 2. Montrer que f est de classe C 1 sur R. 3. Montrer que f n’est pas deux fois dérivable en zéro. 1. Pour u = 0, simplifier en fonction du signe de u l’expression 1 Arctan u + Arctan . u 2. Déterminer deux termes du développement asymptotique de Arctan u en +∞. 3. Montrer que l’équation tan x = x admet une unique solution π π notée xn dans l’intervalle − + nπ, + nπ . 2 2 4. Déterminer trois termes du développement asymptotique de la suite (xn ).

x

Exercice 3 Effectuer un DL en zéro à l’ordre indiqué entre parenthèse des fonctions suivantes : Arcsinx , (5). 1. √ Exercice 9 1 − x2 Etudier les points singuliers de la courbe paramétrée définie par x2 x(t)= t − th t 2. ln 1 + , (3). 1 et dessiner l’allure de la courbe au voisinage de 1 + x2 y(t)= x ch t 3. e Arctanx, (5). ce point. sin x 4. e , (3). sin x , (3). 5. ln(1 + x) Exercice 4 Déterminer les limites des fonctions suivantes : 1 1 1. − en 0. x ln(1 + x) 1 − x + ln x √ 2. en 0. 1 − 2x − x2 sin x 3. en 0. x 1 1 √ + 4. en 1. 2(1 − x) 3(1 − x 1 ) 3 5. x((x3 + x) 3 − (x3 − x) 3 ) en +∞. Exercice 5 : Développement asymptotique de Arccos en 1. 1−x . 2 2. En déduire un développement asymptotique à trois termes de Arccosx en 1. Arccos(1 − x) √ 3. Déterminer la limite en zéro de . x Exercice 6 Déterminer un