Chapitre 5

La fonction logarithme népérien
Pour prendre un bon départ (page 118)
Activité 1
2 1. a) f (1 × 1) = f (1) + f (1) donc f (1) = 0 .
b) f est dérivable sur ]0 ; + ∞ [ donc g est dérivable et pour tout réel y > 0 , g ′(y) = x f ′(xy) = f ′(y) . c) Donc pour réel x > 0 , g ′(1) = f ′(1) = x f ′(x) , donc : f ′(1) f ′(x) = ----------- . x 2. a) Pour tout réel y > 0 , h ′(y) = x f ′(xy) – f ′(y) . kk -- -- Or f ′(xy) = ----- et f ′(y) = -- , donc h ′(y) = k – k = 0 . xy y y y b) Donc h est une fonction constante telle que : h (y) = h (1) = f (x) – f (1) = f (x) = c , et f (xy) = f (x) + f (y) .

Activité 2
1. a) S(x + h) – S(x) = aire(M1 N1 HA) – aire(MNHA) = aire(MM1 N1 N) . h h b) aire(M1 N1 NP) = ------------ et aire(MNN1 P1) = -- , donc : x +h x h ------------ N S(x + h) – S(x) N h . -x +h x S(x + h ) – S(x ) -c) lim -------------------------------------- = 1 . h h→0 x 2. a) Résultat évident. b) Voir la question 1. S(1 + h ) – S(1) 3. lim + -------------------------------------- = 1 . h h→0

Travaux dirigés (page 129)
TD 1 ln x est 1 telle que f ′(a) = -- . Donc la tangente Ta en A à a a pour équation : 1 1 y – ln a = -- (x – a) , ou encore y = -- x – 1 + ln a . a a 1 b) Si a = e , Te a pour équation y = -- x donc cette e droite passe par l’origine du repère. 2. a) g est dérivable en I (somme de fonctions dérivables) -- -- ----------et, pour tout x de I, g ′(x) = 1 – 1 = x – a , donc g ′(x) > 0 a x ax lorsque x > a .

1 1. a) A a pour coordonnées (a ; ln a) et f : x

1 2. En prenant x = a + 1 > 0 : ln(a + 1) – lna N -- [2] . a 3. a) D’après [2], ln11 – ln10 N 0,1 , donc la courbe restreinte à l’intervalle [10 ; 11] semble quasiment un segment horizontal. b) ln x = 10 équivaut à x = e 10 et ln x = 15 équivaut à x = e 15 .

TD 2
– -----------1 1. h(x) = lnx + 1 – x ; h ′(x) = 1 – 1 = 1 x x ; x x h′(x) h 0 + 1 0 0 – +∞

b)

x g′(x) g

0 –

a 0 0 +

+∞

Donc pour tout réel x > 0 , g(x) n 0 . 3. Il résulte de la question