PRIMITIVES - COURS
Si f est une fonction dérivable, on sait calculer sa fonction dérivée f ‘

On peut aussi considérer que toute fonction pourrait être vue comme la dérivée d’une autre.

1) Définition et premières propriétés Si f est une fonction définie sur un intervalle I, on appelle Primitive de f de I toute fonction F définie et dérivable sur I, telle que : pour tout x ∈ I , F ′ ( x ) = f ( x )
Remarques : 1) Les mots « Primitive de f de I » sont indissociables. 2) La nécessité de ne travailler que sur un intervalle I se justifiera par la suite. 3) Il n’est pas, pour le moment, assuré de l’existence d’une primitive.

Notation : Il est d'usage de noter une fonction par une lettre minuscule et une primitive de cette fonction par la lettre majuscule correspondante.

Exemples : 2 La fonction F : x ֏ x est une primitive sur ℝ de la fonction f : x ֏ 2 x

1 1 est une primitive sur ]−∞;0[ ou sur ]−∞;0[ de la fonction g : x ֏ − 2 x x 1 La fonction H : x ֏ x est une primitive sur ]0;+∞[ de la fonction h : x ֏ 2 x
La fonction G : x ֏

Propriété : Si une fonction admet une primitive F sur un intervalle I, alors elle admettra une infinité d’autres primitives G sur I définies par : Pour tout x ∈ I , G ( x ) = F ( x ) + k où k est un réel quelconque. On dit que toutes les primitives d’une focntion sont définies « à une constante près »
Preuve : Soit F et G sont deux primitives d’une même fonction f sur un intervalle I . On a donc : Pour tout x ∈ I , F ′ ( x ) = f ( x ) et G′ ( x ) = f ( x ) .

Par soustraction, on obtient : Pour tout x ∈ I , G′ ( x ) − F ′ ( x ) = f ( x ) − f ( x ) = 0 . La fonction G − F : x ֏ G ( x ) − F ( x ) est donc constante sur I.

Par ailleurs, pour tout x ∈ I , G ′ ( x ) − F ′ ( x ) = ( G − F )′ ( x ) = 0 . Ainsi, pour tout x ∈ I , ( G − F )′ ( x ) = 0
Il existe donc un réel k tel que pour tout x ∈ I , on ait G ( x ) − F ( x ) = k ⇔ G ( x ) = F ( x ) + k . CQFD alors G′ ( x ) = F ′ ( x ) + k = f ( x ) + 0 = f ( x )