Baccalauréat S Amérique du Nord Correction \
30 mai 2014
Exercice 1 5 points
Commun à tous les candidats
Dans cet exercice, tous les résultats demandés seront arrondis à 10−3 près.
Partie A : Conditionnement des pots
1. On veut p(X 6 49). Avec la calculatrice p(X 6 49) ≈ 0.202.
2. On note σ
′
le nouvel écart-type, et Z la variable aléatoire égale à X −50 σ′ a. La variable aléatoire Z suit la loi normale centrée réduite.
b. Une valeur approchée du réel u tel que p(Z 6 u) = 0,06 est u ≈ −1.555.
c. Z =
X −50 σ′ ⇔ X = σ
′Z +50 p(X 6 49) = 0,06 ⇔ p
¡
σ
′Z +50 6 49¢
= 0,06 ⇔ p µ Z 6 −
1
σ′
¶
= 0,06
On doit donc avoir −
1
σ′
= −1,555 ⇔ σ
′ =
1
1,555
≈ 0,643
La valeur attendue de σ
′
est donc 0,643.
3. a. Ici, l’épreuve de Bernoulli consiste à tester si un pot est non conforme considéré comme succès de probabilité 0,06,... ou pas.
On répète 50 fois cette épreuve. Y suit donc la loi binomiale de paramètres 50 et 0,06.
b. On calcule p(Y 6 2) avec la calculatrice. La probabilité que la boutique reçoive deux pots non conformes ou moins de deux pots non conformes est d’environ 0,416.
Partie B : Campagne publicitaire
On a n = 140 > 30, f =
99
140 donc n f = 99 > 5 et n(1 − f ) = 41 > 5. Ainsi, · f −
1
p n ; f +
1
p n ¸ soit [0,622;0,792] est donc un intervalle de confiance au seuil de 95 % de la proportion de personnes satisfaites parmi les utilisateurs de la crème.
Exercice 2 6 points
Commun à tous les candidats
Partie A : Positions relatives de Cf et D
Soit g la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par g (x) = f (x)−(x −3).
1. Pour tout réel x de l’intervalle [0 ; +∞[, g (x) = 5e−x −3e−2x = e
−x
(5−3e−x
).
Comme e−x > 0 (exponentielle), g (x) est du signe de 5−3e−x
.
5−3e−x > 0 ⇔ 5 > 3e−x ⇔
5
3
> e
−x ⇔ lnµ
5
3
¶
> −x ⇔ lnµ
3
5
¶
< x ce qui est toujours vrai car lnµ 3
5
¶
< 0 < x.
Finalement, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; +∞[, g (x) > 0.
2. La courbe Cf et la droite D ont