Troisième

Math foru’

Systèmes de deux équations à deux inconnues

Exemple : 2x − y = 1 −x + 2y = 4 Ce système est constitué de deux équations simultanées et deux inconnues x et y .

Méthodes algébriques de résolution :
Résoudre le système, c’est trouver toutes les solutions communes aux deux équations, c’est-à-dire trouver les couples (x ; y) pour lesquels les deux égalités sont vraies simultanément. Le principe général consiste à éliminer une inconnue pour se ramener à la résolution d’une équation du premier degré à une inconnue.

Par substitution • On isole une des deux inconnues dans une des équations. • On la remplace (substitue) par son expression dans l’autre équation. • On détermine la valeur d’une des inconnues. • On remplace celle-ci par sa valeur dans la première expression. • On détermine la valeur de la seconde inconnue. Exemple : · 2x − y = 1 −3x + 2y = 4 y = 2x − 1 on a isolé y −3x + 2y = 4 y = 2x − 1 −3x + 2(2x − 1) = 4 on a remplacé y par sa valeur y = 2x − 1 −3x + 4x − 2 = 4 y = 2x − 1 x=6 on a trouvé x y = 2 × 6 − 1 on a trouvé y x=6

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1

Troisième

Math foru’

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y = 11 x=6

La solution est le couple (6 ; 11) Vérification 2 × 6 − 11 est bien égal à 1 (−3) × 6 + 2 × 11 est bien égal à 4 * * * Par combinaison linéaire • On multiplie les équations par des nombres choisis de manière à obtenir les coefficients égaux (ou opposés) dans chacune des deux équations pour une des deux inconnues. • On soustrait (ou additionne) membre à membre les deux équations du système afin d’obtenir une équation à une seule inconnue. • On détermine alors cette inconnue en résolvant cette équation. • On détermine ensuite l’autre inconnue en reportant la valeur de la première inconnue dans une des équations de départ. Exemple 1 : · 5x + 11y = 1 2x + 3y = 6 5x + 11y = 1 on multiplie cette équation par 2 2x + 3y = 6 on multiplie cette équation par 5 10x + 22y = 2 on soustrait la première équation à la deuxième 10x + 15y = 30