ANNEXE I TRANSFORMEE DE LAPLACE

Pierre-Simon Laplace, mathématicien français (1749-1827). Laplace entra à l’université de Caen a 16 ans. Très vite il s’intéressa aux mathématiques et fut remarqué par d’Alembert. En analyse, il introduisit la fonction potentielle et les coefficients de Laplace. Il travailla également beaucoup sur les équations aux différences et sur les équations différentielles. Contrairement aux apparences, l’utilisation de la transformée de Laplace pour la résolution d’équations différentielles n’est pas due à Laplace, mais à Heaviside. Oliver Heaviside, électricien anglais (1850-1925). Largement autodidacte (il quitta l’école à 16 ans) , Heaviside devint télégraphiste et s’intéressa à l’électricité. Il étudia le traité sur l’électricité et le magnétisme de Maxwell, et en simplifia fortement les équations. Entre 1880 et 1887 il développa le calcul opérationnel, substituant p à d/dt pour la résolution des équations différentielles résultant de l’analyse des circuits électriques. Cette technique causa une grande controverse, en raison de son manque de rigueur mathématique. Elle ne fut prouvée (par la transformée de Laplace) que 20 ans plus tard.

I.1 Définition
Soit f(t) une fonction du temps. Sa transformée de Laplace unilatérale F(p) est définie par :

LI [ f (t ) ] = F ( p) =

∞

0−

∫ f (t ) exp (− pt ) dt

(I.1)1

où p est la variable complexe2. On définit également parfois la transformée de Laplace bilatérale par :

∞

1

0−

∫ f (t ) exp (− pt ) dt

∞

est en fait une notation pour

t0 → 0−

lim

t0

∫ f (t ) exp (− pt ) dt . Ce choix particulier

pour la borne d’intégration inférieure permet de prendre correctement en compte les fonctions discontinués en t=0 et les distributions (d(t), d’(t), etc.).
2 La fonction F(p) n’est pas définie dans tout le plan complexe : elle n’existe que dans une région

de convergence. Nous ne nous en occuperons pas trop ici.

2

TRANSFORMEE DE LAPLACE LII [ f (t