Exercice 53:

On considère la fonction f définie , sur R privé de 1 , par et Cf sa courbe représentative dans un repère Démontrer que le point L de coordonnées (1;2) est centre de symétrie de Cf . Étudier les variations de f sur l'intervalle 1 ouvert à + En déduire les variations de f sur l'intervalle à 1 ouvert formule Df = R privé de 1

Pour qu'une fonction à un centre de symétrie de Cf , on doit étudier la parité de cette fonction .On pose la fonction f impaire , il faut donc vérifier 3 conditions : I symétrique autour de O on peut aussi nous appuyer sur la propriété graphique suivante: f est impaire signifie que sa courbe représentative est symétrique autour de O .Nous n'avons pas ici une symétrie de I autour de O .
Mais ici on a un changement de repère , donc I est centré non pas sur O mais sur le nouveau origine (S,i,j) et f(-x) = -f(x) pour tout x appartient à I
On sait que le point L de coordonnées (1;2) est le centre de symétrie de la courbe représentative de f si pour tout (a + x ) et (a-x) de I on a

Soit le point L (1;2) , la courbe C1 , image de Cf par la translation de vecteur LO (1;2) est la courbe représentative de la fonction f1 définie sur R par

f1(x) = f(x-1)+2 = =

f1(-x) = =

Donc la fonction est impaire et O est un centre de symétrie de C1
Par la translation de vecteur OL = i – 2j , le point L est donc un centre de symétrie de la courbe Cf

2. on calcule d'abord la dérivé de la fonction f

u'(x) = 2x v'(x) = 1

= = =

on a alors un polynôme du second degré avec un a différent de 0

on calcule son discriminant delta = formule= donc le delta est ici positif dans ce cas on applique la règle toujours le signe de a , alors le signe du polynôme est positif et le dénominateur est un carré , donc est tout le temps positif .Donc le signe de f'(x) est positif .
Si on sait le signe de f'(x) on peut alors en déduire les variations de f . Puisque f ' (x) est positif