CHAPITRE 5 FONCTIONS LOGARITHMES

1 Définition et représentation graphique de la fonction logarithme népérien
1. Définition
1 -- est définie, continue sur ]0 ; + ∞ [ , elle admet x donc des primitives sur ]0 ; + ∞ [ . La fonction inverse x La fonction logarithme népérien x ln x est la primitive, définie sur 1 -- qui s’annule en 1. ]0 ; + ∞ [ , de la fonction x x

2. Conséquences
• La fonction logarithme népérien, dont la dérivée est strictement positive sur ]0 ; + ∞ [ , est strictement croissante. Elle est continue et bijective. 1 • ln ′ ( x ) = -- ; x ln 1 = 0. • lim ln x = – ∞ x→0 0

x x ln 1 -x

0 +

1 +

+∞

+∞ –∞ 0

x → +∞

lim ln x = + ∞ .

1 1 0 B

A

ln

e

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cours

savoir-faire

exercices

corrigés

• On appelle e le nombre réel tel que ln e = 1. 1 Au point A ( e ; 1 ) , la tangente a pour équation y = -- x et au point e B ( 1 ; 0 ) la tangente a pour coefficient directeur 1.

exemple d’application
Déterminer les asymptotes à la courbe f: x représentative de la fonction : x+3 ln  ------------ .  x – 1

corrigé commenté

Indication : on commence par déterminer l’ensemble D de définition de la fonction f.

x+3 f ( x ) existe si, et seulement si, ------------ 0 ; le signe de ce quotient est celui d’un trix–1 nôme du second degré de racines 1 et – 3. x+3 Par suite, ------------ 0 si, et seulement si, x ∈ ] – ∞ ; – 3 [ ] 1 ; + ∞ [ . x–1 Donc D = ] – ∞ ; – 3 [ ] 1 ; + ∞ [ . Indication : on étudie ensuite les limites de f aux bornes de D. 3 1 + -x+3 x • ------------ = ------------ pour x ≠ 0 d’où x–1 1 1 – -x composition lim f ( x ) = 0. x →∞

 1 + 3 --   x lim  ------------  = 1 et lim ln X = 0 donc par 1 x → ∞ X→1 1 – --   x

Donc la droite d’équation y = 0 est asymptote à dans un voisinage de +∞ et de – ∞. x+3 • lim ------------ = 0 + et lim ln X = – ∞ , donc par composition lim f ( x ) = – ∞ . x → –3 x – 1 X→0 x → –3
–3 0 –3

Donc la droite d’équation x = – 3 est asymptote à . • lim ( x –