an 09. p 48. Partie A – Restitution organisée de connaissances. ex Prérequis : on rappelle que x→+∞ lim = +∞. x ln x ln x 1. Démontrer que x→+∞ lim =0 2. En déduire que pour tout entier naturel n non nul : x→+∞ n = 0. lim x x Partie B – Etude d’une fonction f. ln x Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : f(x) = x – . x² → → On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ; i , j ) (unité graphique 2 cm). 1. Soit u la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : u(x) = x3 – 1 + 2ln x. a. Etudier le sens de variation de la fonction u sur l’intervalle ]0 ; +∞[. b. Calculer u(1) et en déduire le signe de u(x) pour x dans ]0 ; +∞[. 2. Etude de la fonction f a. Déterminer les limites de f en 0 et +∞. b. Déterminer la fonction dérivée de f et construire le tableau de variation de la fonction f. 3. Eléments graphique et tracé. a. Démontrer que la droite (∆) d’équation y = x est asymptote oblique à la courbe Cf. b. Déterminer la position de Cf par rapport à (∆). c. Tracer la courbe Cf et la droite (∆). Partie C – Calculs d’aires. On note α un nombre réel strictement positif et on désigne par A(α) l’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan délimitée par la courbe Cf , la droite (∆) et les droites d’équation x = 1 et x = α. 1. On suppose dans cette question que α > 1. ln α 1 − . a. A l’aide d’une intégration par parties, démontrer que A(α) = 1 − α α b. Déterminer la limite l de A(α) lorsque α tend vers +∞. 2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Démontrer que l = A(1/e)

Partie A – Restitution organisée de connaissances. ex Prérequis : on rappelle que x→+∞ lim = +∞. ∞ → x ln x 1. Démontrer que x→+∞ lim =0 → x On pose ln x = t, on a alors x = et et quand x → +∞, t → +∞ ln x t et lim = t→+∞ t = 0 car d’après le prérequis, t→+∞ lim lim = +∞ x→+∞ x e t ln x 2. En déduire que pour tout entier naturel n non nul : x→+∞ n = 0. lim